Cómo demostrar que [matemáticas] \ left (\ frac {-1} {x + 1} \ right) ^ {k + 1} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ binom {n} {k } \ left (\ frac {-1} {x} \ right) ^ {n + 1}

Answer 1

Inducción por identidad binomial,

Si [matemática] k = 0 [/ matemática], [matemática] \ displaystyle {\ sum_ {n = 0} ^ \ infty (\ frac {-1} {x}) ^ {n + 1} = \ frac {\ frac {-1} {x}} {1- \ frac {-1} {x}} = \ frac {-1} {x + 1}} [/ math].
Suponga que [matemática] k = m [/ matemática] la identidad es verdadera, necesita demostrar que [matemática] k = m + 1 [/ matemática] también es cierta,
[matemáticas] \ displaystyle {S_ {m + 1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ binom {n} {m + 1} (\ frac {-1} {x}) ^ {n + 1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (\ binom {n-1} {m + 1} + \ binom {n-1} {m}) (\ frac {-1} {x}) ^ {n +1}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ displaystyle {\ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ binom {n-1} {m + 1} (\ frac {-1} {x}) ^ {n + 1} + \ sum_ { n = 0} ^ \ infty \ binom {n-1} {m} (\ frac {-1} {x}) ^ {n + 1}} [/ math] [math] = \ displaystyle {\ frac {- 1} {x} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ binom {n-1} {m + 1} (\ frac {-1} {x}) ^ {n} + \ frac {-1} { x} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ binom {n-1} {m} (\ frac {-1} {x}) ^ {n}} [/ math] (let [math] n ‘= n-1 [/ matemáticas])
[matemáticas] = \ displaystyle {\ frac {-1} {x} \ sum_ {n ‘= 0} ^ \ infty \ binom {n’} {m + 1} (\ frac {-1} {x}) ^ {n ‘+ 1} + \ frac {-1} {x} \ sum_ {n’ = 0} ^ \ infty \ binom {n ‘} {m} (\ frac {-1} {x}) ^ {n ‘+1}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ displaystyle {\ frac {-1} {x} S_ {m + 1} + \ frac {-1} {x} (\ frac {-1} {x + 1}) ^ {m}} [/matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle {(1+ \ frac {1} {x}) S_ {m + 1} = \ frac {-1} {x} (\ frac {-1} {x + 1}) ^ {m }} [/matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle {S_ {m + 1} = (\ frac {-1} {x + 1}) ^ {m + 1}} [/ matemáticas]

Answer 2

Dejando [math] y = \ frac {-1} {x} [/ math], nuestro objetivo es mostrar que [math] \ left (\ frac {y} {1 – y} \ right) ^ {k + 1 } = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ binom {n} {k} y ^ {n + 1} [/ math]; dividiendo ambos lados entre [matemáticas] y ^ {k + 1} [/ matemáticas], esto es equivalente a [matemáticas] \ left (\ frac {1} {1 – y} \ right) ^ {k + 1} = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ binom {n} {k} y ^ {n – k} [/ math].

Como [math] \ binom {n} {k} = 0 [/ math] para [math] n

Al mismo tiempo, el lado izquierdo se puede expandir como [math] \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} y ^ n \ right) ^ {k + 1} [/ math]. El coeficiente de [matemática] y ^ n [/ matemática] después de distribuir esto será el número de secuencias de [matemática] k + 1 [/ matemática] muchos naturales que suman a [matemática] n [/ matemática]; según el argumento habitual de “estrellas y barras”, esto es [math] \ binom {n + k} {k} [/ math], y así hemos terminado.

Answer 3

Inducción en k con la Hockey-Stick Identity en el RHS funciona.

En su totalidad:
El caso base es k = 0
[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ binom {n} {0} \ left (\ frac {-1} {x} \ right) ^ {n + 1} [/ math] y todo los coeficientes binomiales son 1, dejando una serie geométrica, que es igual a [matemáticas] \ frac {\ frac {-1} {x}} {1- \ frac {-1} {x}} = \ frac {-1} { x + 1} [/ matemáticas].

Por palo de hockey
[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ binom {n} {k} \ left (\ frac {-1} {x} \ right) ^ {n + 1} [/ math] es igual a [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {m = 1} ^ {n-k + 1} {nm \ elegir k-1} \ left (\ frac {-1} {x } \ right) ^ {n + 1} [/ math]

Intercambiando el orden de suma y sacando una [matemática] \ izquierda (\ frac {-1} {x} \ derecha) ^ m [/ matemática]:

[matemáticas] \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {-1} {x} \ right) ^ m \ sum_ {n = k + m-1} ^ {\ infty} \ binom {nm} {k-1} \ left (\ frac {-1} {x} \ right) ^ {n + 1-m} [/ math]

En este paso, los valores n toman cambios, pero esto está permitido porque n puede indexarse ​​desde cualquier número entero entre 0 yk inclusive sin cambiar la suma.

Por la hipótesis de inducción, la suma interna es
[matemáticas] \ sum_ {n = k + m-1} ^ {\ infty} \ binom {nm} {k-1} \ left (\ frac {-1} {x} \ right) ^ {n + 1- m} = \ left (\ frac {-1} {x + 1} \ right) ^ k [/ math]
y todo lo que queda es [matemáticas] \ left (\ frac {-1} {x + 1} \ right) ^ k \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {-1} {x } \ right) ^ m [/ math]
que es una serie geométrica como en el caso base, por lo que todo es igual a [matemática] \ izquierda (\ frac {-1} {x + 1} \ derecha) ^ {k + 1} [/ matemática].

Answer 4

La serie Taylor de (1 / (x + 1)) en x = 0 viene dada por 1-x + x ^ 2-x ^ 3 + x ^ 4- …… ..

Sigue diferenciando ambos lados de la ecuación con respecto a x y puedes encontrar un patrón. Eventualmente puede alcanzar la relación que necesita probar cuando diferencia k veces para ambos lados.