¿Cuál es un ejemplo de una prueba por inducción donde no se necesita la hipótesis inductiva?

Answer 1

Considere un ejercicio dado en el Análisis I de Tao. La afirmación es que cada número natural que no sea igual a [math] 0 [/ math] tiene un predecesor (único). Usamos la notación [math] n {+ \! +} [/ Math] para el sucesor de [math] n [/ math] (esto es lo que usa Tao).

Usando la inducción, el caso base es trivial. Ahora suponga que [math] n [/ math] tiene un predecesor [math] m [/ math] tal que [math] n = m {+ \! +} [/ Math]. Ahora, para [math] n {+ \! +} [/ Math] esto es fácil ya que [math] n [/ math] ya es un predecesor. Esto cierra la inducción, pero nunca terminamos necesitando el hecho [math] n = m {+ \! +} [/ Math].

(La singularidad es inmediata a partir de los axiomas de Peano).

Por supuesto, podemos intentar probar la declaración directamente para cualquier [matemática] n {+ \! +} [/ Matemática], pero hacer esto solo con los axiomas de Peano parece difícil. Si dejamos que [math] n {+ \! +} [/ Math] sea algún número, entonces por uno de los axiomas tenemos [math] n {+ \! +} \ Ne0 [/ math]. Y tenemos [math] n [/ math] como predecesor. Pero no podemos saber que el conjunto de números que se pueden escribir como [math] n {+ \! +} [/ Math] es el conjunto [math] \ mathbf {N} \ setminus \ {0 \} [/ math] (porque esto es lo que nos propusimos probar).

Answer 2

Er … no estoy seguro de lo que se supone que significa … Entonces, probarás que
a) La afirmación es verdadera para 1
b) Si la afirmación es verdadera para algunos k, entonces también es cierta para k + 1, pero al probar esta parte no utilizará la información que sabía que la afirmación es verdadera para k.

En ese caso, uno podría probar directamente la declaración para cualquier k + 1, sin la necesidad de inducción. Por supuesto, hay muchos ejemplos de este tipo …
Aquí hay un ejemplo: demuestre que n + n = 2n para cualquier número entero positivo n, “usando inducción”.
El resto se deja como ejercicio al lector.

Answer 3

La hipótesis de la inducción es el corazón de la inducción matemática. No hay ningún ejemplo sin el cual pueda probar las identidades o desigualdades.