¿Cuántas pruebas del teorema fundamental del álgebra hay?

Realmente no es posible dar una respuesta definitiva a tales preguntas. A menudo es difícil determinar cuándo dos pruebas son realmente distintas o si son iguales, ya que son ligeras variaciones de la misma idea subyacente.

Dicho esto, puedo mencionar algunas pruebas bastante distintas del Teorema fundamental del álgebra con las que estoy familiarizado. Seguramente hay otros.

En todo momento, deje que [math] p (z) [/ math] sea un polinomio de grado [math] n [/ math] en una sola variable [math] z [/ math]. A veces es conveniente suponer que los coeficientes de [math] p (z) [/ math] son ​​reales; si no lo están, cambie al polinomio real [matemático] p (z) \ overline {p (\ bar {z})} [/ matemático].

Una prueba (o clase de pruebas; hay muchas variaciones) argumenta observando que cuando [math] z [/ math] es grande (en valor absoluto, en relación con la magnitud de los coeficientes), entonces la magnitud de [math] p (z) [/ math] está dominado por el poder más alto; en particular, la magnitud aumenta a medida que aumentamos [math] | z | [/ math], al menos más allá de un umbral mínimo por debajo del cual el comportamiento es más desordenado. Esto implica que [math] | p (z) | [/ math] obtiene un mínimo (en lugar de hacerse cada vez más pequeño a medida que te alejas). Ahora concluimos que este mínimo debe ser 0; de lo contrario, se deriva una contradicción al considerar [matemáticas] 1 / p (z) [/ matemáticas] y utilizando el principio de Módulo máximo o el teorema de Liouville sobre funciones analíticas limitadas.

Una segunda clase de pruebas trata de restringir la inevitable parte analítica del argumento solo al análisis real, y luego se basa en el álgebra para el resto. La parte analítica real puede ser simplemente esto: un polinomio con coeficientes reales y grados impares debe tener una raíz real, y cada número real tiene una raíz cuadrada (lo que significa que no hay polinomios cuadráticos irreducibles). Esa es una consecuencia fácil del teorema del valor medio o cualquier número de observaciones de continuidad similares.

Una vez establecido esto, una buena manera de proceder es utilizar alguna teoría de Galois: imagine una extensión de campo finito de [math] \ mathbb {C} [/ math]; asuma (como sea posible) que es una extensión de Galois de los reales; tome un subgrupo 2-Sylow del grupo Galois; encuentre la extensión de campo correspondiente utilizando la teoría de Galois; debe ser trivial, de lo contrario tenemos un polinomio irreducible de grado impar; por lo tanto, el grupo de Galois en realidad debe ser un grupo 2, y usando un subgrupo normal de índice 2 reducimos el caso de polinomios cuadráticos.

Nuevamente, hay otras formas de usar el álgebra para manejar la parte de potencias de 2 del grado del polinomio.

Una tercera clase de pruebas es topológica. Mi favorito de este tipo se puede encontrar en el maravilloso libro de Milnor “Topología desde el punto de vista diferenciable”. Utiliza la persistencia del tamaño de la fibra de un mapa uniforme para mostrar rápidamente cómo un polinomio, ahora visto como un mapa uniforme desde la esfera en sí mismo, no puede perder ningún valor; de hecho, debe obtener cada uno el mismo número de veces, excepto por la singularidad rara (raíces de la derivada). Es una prueba corta, transparente y maravillosa que realmente revela la naturaleza topológica del teorema.

Estoy seguro de que hay muchas otras pruebas, y como dije, a menudo puede ser difícil desenredarlas y clasificarlas en “cubos” claros.

Otra prueba interesante proviene de la topología algebraica. Usted define el grado de un auto-mapa continuo de [matemática] f [/ matemática] en [matemática] S ^ 1 [/ matemática] como el entero [matemático] n [/ matemático] tal que el homomorfismo inducido [matemático] f_ * [/ math] es la multiplicación por [math] n [/ math]. (Aproximadamente, hay un problema aquí en que f no conserva los puntos de base, pero puede solucionar este problema). Luego, dado un polinomio [matemático] p (x) [/ matemático] de grado n (usando el grado en el sentido de la potencia más alta) puede considerar [matemático] q (x): = p (x) / | p (x) | [/ math], que es un auto-mapa de [math] S ^ 1 [/ math]. Usted encuentra que si [matemática] p (x) [/ matemática] no tiene raíces dentro del disco de la unidad, [matemática] q (x) [/ matemática] tiene grado 0, mientras que si [matemática] p (x) [/ matemática ] no tiene raíces fuera del disco de la unidad, [matemáticas] p (x) [/ matemáticas] tiene grado n. Para evitar una contradicción, [math] p (x) [/ math] debe tener una raíz.

No sé si esta prueba es esencialmente la misma que mencionó Alon Amit. Lo aprendí del libro de introducción de Peter May sobre topología algebraica.

Hay un número n de pruebas en álgebra, depende de usted cuántas resuelva.

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