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Problema 17: Derive la ecuación polar normal de una línea recta, la distancia perpendicular desde el origen es P y la inclinación de P es alfa.
Estoy tratando de ayudar al hermano de mi esposa con su tarea. Se ocupó de todos sus problemas matemáticos, pero este.
Por favor perdón. Mi procesador de textos no tiene notación científica. O, si lo hace, no sé cómo usarlo.
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De todos modos, necesito ayuda !!! Por favor, lea mis intentos de responder esto. Enviar ayuda o frambuesas.
1. Suposiciones:
seno = opuesto sobre hipotenusa.
coseno = adyacente sobre hipotenusa.
tangente = opuesto sobre adyacente.
Los lados de un triángulo 30-60-90 son 1, 2 y el rt cuadrado de 3. La hipotenusa es 2.
Esto es complicado y podría equivocarme:
seno y coseno se desplazan en fase 90 grados. Entonces:
cos (x más 90) = (-1) sin (x). El coseno del ángulo de cantidad x más 90 grados es menos una vez el seno de ese mismo ángulo x.
sin (x menos 90) = cos (x). El seno del ángulo de cantidad x menos 90 grados es el mismo que el coseno de x.
cos (90 menos x) = sin (x); sin (90 menos x) = cos x.
“El origen” en una cuadrícula cartesiana es x = 0, y = 0
2. De acuerdo. Si leo esto correctamente, amigo me está pidiendo que dibuje una colección infinita de líneas P, todas en una pendiente llamada ángulo alfa. Todas las líneas P se cruzan con el eje Y en x = 0, y = P.
3. Entonces, la línea P con un alfa de cero es una línea paralela al eje X, a una distancia P del eje X.
Llamaré a la distancia mínima (la distancia perpendicular) desde el origen, Rmin.
La distancia desde el origen hasta la línea P a lo largo de cualquier hipotenusa se llama r (por radio, creo).
Rmin = P para un alfa de 0.
para un alfa de cero: dibuje un triángulo 30-60-90 con un ángulo theta = 30 grados. La distancia desde el origen a la línea P (la hipotenusa) es 2P en ángulo theta.
entonces, r = P / (seno de theta) para un alfa de cero.
El seno de 90 es 1. Entonces, cuando r está en 90, grados (cuando theta = 90), entonces r = P; y:
A medida que el ángulo theta se aproxima a cero, el valor r se acerca al infinito. (seno de cero es cero)
Cuando el ángulo theta se aproxima a 180, r se acerca al infinito.
Cuando theta es 270, r es P negativo; P tiempo menos uno.
4. nuevos valores de Rmin para nuevos valores de alfa
Para una pendiente de 45 grados (alfa = 45), la línea P debe intersecar el eje y en P e intersecar el eje x en menos P.
Para alfa = 315 grados (alfa = menos 45 grados), la línea P debe intersecar el eje y en P e intersecar el eje x en P. El valor r es igual a la base del triángulo que divide esta línea. La hipotenusa de este triángulo es P. Los ángulos son 45-45-90.
Para un alfa = 315; Rmin = P / (rt cuadrado de 2); Rmin = (sq rt 2) P / 2.
Cuando el ángulo theta se acerca a 315, r se acerca al infinito.
5. Para un alfa = 90 grados; esta línea P se superpone al eje Y.
Rmin = 0
r tiene un rango infinito de valores a lo largo del eje y. Yo creo que.
6. alfa de 330, también conocido como menos 30 grados.
Dibuja un triángulo 30-60-90 con el ángulo 90 anidado en los ejes x e y. El ángulo 60 es el punto x = 0, y = P y el ángulo 30 es el punto y = 0, x = P (sq rt 3). La hipotenusa de este triángulo es 2P.
Encuentra a Rmin. Eso debería darte 2 triángulos desiguales 30-60-90. El triángulo superior tiene una hipotenusa de P.
coseno = adyacente sobre hipotenusa.
cos 30 = Rmin / P; P (cos30) = Rmin
Theta, aquí, tiene 90 grados menos el ángulo que solía encontrar Rmin. En este caso, theta = 60 grados.
Para el triángulo superior, el ángulo en x = 0, y = P es 60 grados. El valor Rmin se puede describir como:
sin60 = Rmin / P
Rmin = P (seno de theta)
7. ¿Cuál es la relación entre Rmin, theta y alfa?
Rmin = P (seno de theta) y theta para Rmin pueden describirse como 90 grados más alfa.
Yo creo que.
Entonces Rmin = P (seno de [alfa más 90])
sin (x + 90) debería ser igual a cos (x). ¿Si? ¿No? Lo estoy llamando si.
Entonces, RMin = P (coseno de alfa)
¿Funciona esto para alfas de cero, 315, 90?
cos0 = 1, Rmin = P
cos90 = 0, Rmin = 0
cos315 = -0.707
Ups Me perdí un signo menos en alguna parte.
(trabajo en progreso; tengo que pensar un poco más)