¿Cuáles son algunas excelentes pruebas combinatorias informales?

Éste es mi favorito:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk \ binom {n} {k} = n2 ^ {n-1} [/ matemáticas]

Esencialmente, tenga en cuenta que el lado izquierdo pregunta “¿De cuántas maneras podemos elegir un comité de [matemática] n [/ matemática] personas y un presidente de ese comité?

Para un comité de persona [matemática] k [/ matemática], tendremos [matemática] \ binom {n} {k} [/ matemática] formas de elegir el comité, y luego de eso, hay [matemática] k [ / matemáticas] posibles candidatos para el presidente. Por lo tanto, existen [matemáticas] k \ binom {n} {k} [/ matemáticas] formas de elegir un comité de persona [matemáticas] k [/ matemáticas] más un presidente. Sumar todos los valores posibles de [math] k [/ math] da el número total de formas de formar nuestro comité y presidente.

Ahora, abordemos esta misma pregunta de una manera diferente. Hay [matemática] n [/ matemática] candidatos para el presidente. Luego, podemos agregar el resto del comité a este presidente y tendremos el número total de formas. Quedan personas [matemáticas] n-1 [/ matemáticas], y estamos buscando cuántos comités de personas podemos formar con estas personas [matemáticas] n-1 [/ matemáticas]. Este es un problema común, con el resultado conocido como [math] 2 ^ {n-1} [/ math]. Por lo tanto, la cantidad de formas de elegir un comité y un presidente también viene dada por [math] n2 ^ {n-1} [/ math].

Como el lado izquierdo y el lado derecho responden la misma pregunta y representan el mismo número, ¡deben ser iguales!

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