¿Por qué un teórico de números esperaría que el número de primos gemelos menores que [matemática] N [/ matemática] sea 32 por ciento mayor que [matemática] N / (\ log (N) ^ 2) [/ matemática]?

Answer 1

Como señala el artículo, si esperáramos que los primos se distribuyan completamente al azar, deberíamos esperar que el número de primos gemelos sea del orden de [matemáticas] \ frac {N} {\ log (N) ^ 2 } [/matemáticas].

Pero eso no puede ser del todo correcto, porque, si bien no hay restricciones sobre cuándo dos números aleatorios pueden separarse por 2, definitivamente hay restricciones sobre cuándo pueden ser números primos. Por ejemplo, si su primo tiene la forma [matemática] 6n + 1 [/ matemática], (como 7), entonces el próximo “candidato” es [matemática] 6n + 3 [/ matemática], que es divisible por 3, y por lo tanto, claramente no primo (de hecho, 7 + 2 = 9, no primo). Entonces, como mínimo, sus primos gemelos deben tener la forma (6n – 1, 6n + 1). En realidad, existen más restricciones, pero todas provienen del mismo tipo de razonamiento: se observa el módulo de sus “primos gemelos” con respecto a algún primo pequeño. Entonces, debe haber algún factor de corrección.

Obtener este factor de corrección exactamente correcto es otra historia. La conjetura de Hardy y Littlewood fue que debería ser el doble de la constante de primo gemelo [matemáticas] \ prod_ {p> 2} \ left (1 – \ frac {1} {(p – 1) ^ 2} \ right) [/ matemáticas]. No conozco el área lo suficientemente bien como para poder explicarte exactamente cómo se les ocurrió esto. Pero, puedo decirte que la constante de primo gemelo se ha evaluado numéricamente para ser aproximadamente: 0.6601618158468695739278121100145557784326233602847334 …

Dos veces eso es aproximadamente 1.32 …, que es de donde proviene el 32%.