¿Existe una prueba simple o intuitiva de que los tetraedros regulares idénticos no pueden llenar el espacio? ¿Por qué este hecho no es contrarrestado por la observación de que esferas de tamaño idéntico pueden ocupar uniformemente (como balas de cañón) el espacio?

Answer 1

Vea la respuesta de David Joyce de por qué no pueden enlosar el espacio euclidiano.

El tetraedro hiperbólico regular puede embaldosar el espacio hiperbólico, y el tetraedro esférico regular puede embaldosar el espacio esférico.

Las inclinaciones esféricas consistirán en 5, 16 o 600 tetraedros esféricos regulares. Estos corresponden a 3 de los 6 politopos convexos regulares de 4 dimensiones. (Símbolos Schläfli {3,3,3}, {3,3,4}, {3,3,5})

El mosaico hiperbólico es infinito (símbolo de Schläfli “{3,3,6})
Nido de abeja tetraédrico de orden 6
Algunas personas pueden no considerar esto un verdadero mosaico hiperbólico porque
tiene una sección de vértices infinita, lo que significa que todos sus vértices están en el infinito
(los llamados vértices ideales).

El espacio 3 proyectivo también se puede revestir con tetraedros. (8 de ellos).

Answer 2

El problema es el ángulo diédrico de un tetraedro regular. Se trata de 70.53 °, y eso no divide 360 ​​°.

Si coloca el espacio en mosaico con poliedros, los bordes de los poliedros se encontrarán en una línea, y los ángulos diédricos de los poliedros que se encuentren en ese punto tendrán que sumar 360 °. Si está utilizando un poliedro regular para hacerlo, entonces todos esos ángulos diédricos son iguales, por lo que algunos múltiplos de ese ángulo diédrico tendrán que ser 360 °. De todos los ángulos diédricos de los poliedros regulares, solo funciona el cubo con su ángulo diédrico de 90 °. Por lo tanto, puede enlosar el espacio con cubos, pero ninguno de los otros cuatro poliedros regulares.

Si toma un espacio de embalaje regular con esferas del mismo radio y las extiende a los poliedros para que no haya espacios vacíos entre ellos, obtendrá un espacio de labranza por un poliedro interesante, pero no será uno de los regulares. Un poliedro que enlosa el espacio se llama plesioedro. Hay diferentes empaques regulares, y están asociados a diferentes plesioedros.

Answer 3

La prueba de que el cubo es el único poliedro euclidiano con un ángulo diédrico racional es relativamente simple, pero implica algunas matemáticas complicadas. En esencia, implica el hecho de que un lapso de un conjunto de números, cerrado a la multiplicación, no puede involucrar fracciones racionales, y a menos que tenga un {p, q, r} donde los acordes cortos de p y r no multiplique a un múltiplo de 2, entonces q es irracional. Entonces, no hay una r racional que dé {3,3, r} como racional.