En primer lugar, déjame alabar tus aventuras en el ámbito de las matemáticas. Muy pocas personas que conozco lo han hecho voluntariamente.
Para comenzar en esta dirección, la forma más simple es simplemente leer libros de texto . Puede sonar aburrido, pero incluso los libros de texto de tu escuela funcionarán. Esto se debe a que estos son libros escritos por matemáticos experimentados, que han alcanzado un nivel que usted busca alcanzar. Por lo tanto, naturalmente intentan transmitir la mayor parte de su experiencia a través de sus obras escritas.
No me creas Intenta leer un capítulo completo de cualquier libro de texto de matemáticas. Cualquier capítulo, pero léelo detenidamente. Cualquier libro de texto con la dignidad de llamarse a sí mismo un libro de texto de matemáticas mostrará este hecho.
En el curso de la lectura de estos textos, comienzas a abordar problemas como estos de cierta manera. Hay 3 formas principales por las cuales construyes una prueba. Los describiré en breve.
- ¿Existe una prueba simple o intuitiva de que los tetraedros regulares idénticos no pueden llenar el espacio? ¿Por qué este hecho no es contrarrestado por la observación de que esferas de tamaño idéntico pueden ocupar uniformemente (como balas de cañón) el espacio?
- Deje x, y estar en Z (entero). Defina x ~ y si y solo si 5 | (2x + 3y). ¿Cómo demuestras que ~ es una relación de equivalencia?
- Deje x, y en números reales. Defina x ~ y iff xy es un número entero. ¿Cómo demuestras que ~ es una relación de equivalencia?
- ¿Cómo se puede probar [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas]? ¿Alguien sabe cómo se calculó?
- ¿Cómo se le ocurrió a Einstein la ecuación [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas] y cómo lo demostró?
En general, tienes un conjunto de axiomas ; Los axiomas son cosas que ya sabes que son ciertas o que asumes que son ciertas .
Como ejemplo para el primer método, la pregunta que planteó:
En caso de probar:
.
Si tomamos
para ser verdad, es decir, asumimos que es verdad [tomándolo como un axioma], luego dividiendo ambos lados de esta ecuación por c², obtenemos:
a² / c² + b² / c² = 1. Según la definición de sin (x) y cos (x) [que es otro axioma], a / c = sin x y b / c = cos x. Sustituye, y obtenemos:
..
Este es un ejemplo de prueba directa, donde obtiene resultados a partir de un determinado conjunto de axiomas. Los axiomas que utilizamos en esta prueba fueron:
- Uso del sistema de números reales, es decir, propiedades de retención de números reales, como adición, multiplicación, etc.
- Todos los axiomas geométricos estándar en un espacio euclidiano.
- Definiciones de sen x y cos x.
- . Lo hemos tomado como un axioma, pero se puede probar con los primeros 2 axiomas.
En última instancia, lo que hicimos fue pasar de una declaración a otra de manera lógica. El único “trabajo ” real que hicimos fue dividir la ecuación por c². El resto es todo un caso de “Si p , entonces q “.
Hay otras formas populares de probar cosas además del método directo, más notablemente el segundo método, prueba por contradicción.
Aquí, tenemos un conjunto de axiomas, como siempre, y traemos la prueba a un punto donde surgen más de dos posibilidades. Un ejemplo sería probar que √2 es irracional. Hay 2 posibilidades:
1) √2 es racional.
2) √2 es irracional.
Asumimos que √2 es racional, luego procedemos a mezclar y unir hasta encontrar un conflicto con un axioma previamente asumido . Dado que tal conflicto surge, la única posibilidad de resolver ese conflicto es elegir la opción 2, es decir, √2 es irracional. Les dejo a ustedes descubrir cómo puede surgir tal conflicto.
La tercera y más interesante es la inducción matemática. Esta es una forma muy divertida de probar cosas donde los patrones entran en juego.
Usualmente usamos Inducción para probar una fórmula general para una expresión.
Ejemplo:
Demuestre que: Suma de los primeros n números impares = n².
Denotemos esta expresión por P (n).
1) Establezca un caso base: tome n = 1. Entonces 1 = 1² = 1.
2) Suponga un caso general: suponga que dicha fórmula es verdadera para n = k, k es cualquier número. Supongamos que P (k) es verdadero, es decir,
1 + 3 + 5 +… + [2k – 1] = k².
[Tenga en cuenta que [2k – 1] es la expresión para el k’th número impar]
3) Utilizando axiomas anteriores y el hecho de que P (k) se supone verdadero, demuestre que P (k + 1) es verdadero.
es decir, demostrar que 1 + 3 + 5 +… [2k – 1] + [2 (k + 1) – 1] = [k + 1] ²
Usando P (k),
1 + 3 + 5 +… [2k – 1] + [2 (k + 1) – 1] = [k + 1] ²
cambios a
k² + [2 (k + 1) – 1] = [k + 1] ². [La parte subrayada es P (k) ]
-> k² + 2k + 1 = [k + 1] ², lo cual es cierto. [(a + b) ² expansión]
Esencialmente, lo que hemos hecho es demostrar que si P (k) es verdadero, entonces P (k + 1) es verdadero.
donde P (k) es la expresión general.
Ahora sucede la magia.
Caso base: P (1) es cierto.
Como P (1) es verdadero, P (1 + 1) = P (2) también es verdadero.
Como P (2) es verdadero, P (2 + 1) = P (3) también es verdadero.
Como P (3) es verdadero, P (3 + 1) = P (4) también es verdadero.
… ..
… ..
Lavar, enjuagar, repetir. Puedes seguir haciendo esto hasta el infinito. Entonces has demostrado que P (k) es cierto para todos los números naturales.
Te dije que era divertido, ¿verdad?
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Estas 3 técnicas son fundamentales para demostrar muchas cosas en matemáticas. Aunque la inducción no es tan común, los otros 2 definitivamente lo son.
Una cosa que debe tener en cuenta sobre las matemáticas en general es que los problemas aparentemente difíciles a menudo son muy simples. Así que no te asustes por lo que parece ser una prueba dura; Todas las pruebas se crean a partir de una estructura subyacente de axiomas de manera intuitiva . Mientras sus suposiciones sean correctas, todo encajará. 😀
