Deje x, y en números reales. Defina x ~ y iff xy es un número entero. ¿Cómo demuestras que ~ es una relación de equivalencia?

Answer 1

Primero, debe demostrar que [math] \ sim [/ math] es reflexivo; para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], [math] xx = 0 \ in \ mathbb {Z} [/ math], así que esto es cierto.

A continuación, debemos mostrar que la relación es simétrica. Suponga que [math] x \ sim y [/ math]. Entonces [math] xy = n [/ math] para algún número entero [math] n [/ math]. [math] -n [/ math] también es un número entero, y [math] -n = – (xy) = yx [/ math], entonces [math] y \ sim x [/ math].

Finalmente, debemos mostrar que [math] \ sim [/ math] es transitivo. Deje [math] x \ sim y [/ math] y [math] y \ sim z [/ math]. Entonces [matemática] xy = n [/ matemática] y [matemática] yz = k [/ matemática] para algunos enteros [matemática] n [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática]. Entonces [matemáticas] n + k = (xy) + (yz) = xz [/ matemáticas]. [math] n + k [/ math] es un número entero, entonces [math] x \ sim z [/ math].

Por lo tanto, [math] \ sim [/ math] es una relación de equivalencia.

Averiguar cómo son las clases de equivalencia es fácil. Considere que, para cualquier [matemática] x \ sim \ frac {2} {5} [/ matemática], [matemática] x- \ frac {2} {5} = n [/ matemática] para algún número entero [matemática] n [/ math], entonces [math] x = \ frac {2} {5} + n [/ math]. Tenga en cuenta que [math] x \ sim \ frac {2} {5} [/ math] para todos los enteros [math] n [/ math]. Por lo tanto, la clase de equivalencia de [math] \ frac {2} {5} [/ math] es:

[matemáticas] [\ frac {2} {5}] = \ {\ frac {2} {5} + n | n \ in \ mathbb {Z} \} [/ math]

De manera similar, se puede construir la clase de equivalencia de 1, pero dado que [math] n \ to n + 1 [/ math] es una biyección en los enteros:

[matemáticas] [1] = \ mathbb {Z} [/ matemáticas]