¿Es válida la prueba por inducción en todos los casos en que se puede aplicar?

Answer 1

¿Es válida la prueba por inducción en todos los casos en que se puede aplicar?

Si.

¿Cuál es su justificación?

Sabemos que, a partir de 0, puede alcanzar cualquier otro número natural yendo de un número al siguiente.

Equivalentemente …

Para todos los subconjuntos [matemática] P [/ matemática] de [matemática] N [/ matemática], si [matemática] 0 \ en P [/ matemática] y para toda [matemática] x \ en P [/ matemática], también tener [matemáticas] S (x) \ en P [/ matemáticas], entonces [matemáticas] P = N [/ matemáticas]

donde [matemática] S (x) [/ matemática] es el siguiente número después de [matemática] x [/ matemática] (el sucesor de [matemática] x [/ matemática]) o [matemática] x + 1 [/ matemática].

Esto se llama el principio de inducción matemática. Se puede usar para establecer propiedades comunes a todos los números naturales sin tener que probar cada uno de ellos, ¡un práctico atajo!

Supongamos, por ejemplo, que desea demostrar que todos los números naturales tienen una determinada propiedad. Para aplicar el principio de inducción, primero debe definir el conjunto [matemático] P [/ matemático] de todos los números naturales que tienen esta propiedad. Entonces, como lo exige el principio de inducción, debe mostrar que [math] 0 \ en P [/ math]. Luego demuestre que si [matemática] x \ en P [/ matemática], entonces también tendríamos [matemática] S (x) \ en P [/ matemática] (o [matemática] x + 1 \ en P [/ matemática] ) Entonces puede concluir que [matemáticas] P = N [/ matemáticas], es decir, la propiedad en cuestión se mantendrá para cada número natural.

Answer 2

Lo siento, no entendí tu pregunta.

No estoy seguro de cuál es la notación filosófica, por lo que me apegaré a la notación matemática por lógica.

Primero tenemos que hacer algunas suposiciones sobre el conjunto que estamos tratando de probar por inducción:

1) Hay un orden de los elementos: Ejemplo (1, 2, 3, 4 ..) puede ordenar los elementos
2) Un conjunto bien ordenado: supongamos que tenemos un conjunto de elementos S, luego, para cualquier subconjunto no nulo, hay un orden relativo de los elementos dentro del subconjunto.

Suponga que tiene un conjunto X bien ordenado y una transformación [matemática] / lamba [/ matemática] tal que para [matemática] a \ existe X; \ lambda (a) -> b \ existe Y [/ math], donde Y es otro conjunto bien ordenado.

Para probar algo por inducción, necesitamos demostrar que [matemática] \ forall a \ existe X; \ lambda (a) -> b \ existe Y = VERDADERO [/ matemáticas]

Entonces, tomemos el subconjunto bien ordenado más pequeño de [matemáticas] X_0, donde a_0 \ existe en X_0 [/ matemáticas] X, supongamos que podemos demostrar que [matemáticas] \ lambda (a_0) -> b_0 \ existe en Y_0, donde Y_0 es un subconjunto de Y [/ math].

Esto significa que esta propiedad es válida para los dos subconjuntos bien ordenados de X e Y

Entonces, tomemos el subconjunto más pequeño y ordenado de [matemáticas] X_1, donde a_1 \ existe en X_1 [/ matemáticas] X, supongamos que podemos probar que [matemáticas] \ lambda (a_1) -> b_1 \ existe en Y_1, donde Y_1 es un subconjunto de Y [/ math].

Como la proposición es válida para los subconjuntos [matemática] Y, X_0 \ lamba Y_0, X_1 \ lamda Y_1 [/ matemática]

[math] X_0 \ cup X_1 produce un subconjunto X ‘, y como sabemos que Todos los elementos en X’ \ lamba Y ‘[/ math], sabemos que para este subconjunto, la propiedad es verdadera.

Ahora, si seguimos mostrando que la propiedad es válida para todos los subconjuntos de X, entonces lo hemos demostrado por inducción. Hacemos esto al aumentar el tamaño del subconjunto de X, para el cual se mantiene la propiedad.

Espero que esto sea más de lo que estabas buscando: