Cómo probar el teorema binomial

Answer 1

Primer método (serie de Taylor)

Siempre se podría usar el teorema de Taylor para expandir (a + b) ^ k = a ^ k * (1+ b / a) ^ k

Sea f (x) = (1 + x) ^ k donde x = b / a

Sabemos, serie Maclaurin,

Ahora,

dónde,

Por lo tanto,

(a + b) ^ k = a ^ k * (1 + x) ^ k = a ^ k + nC1 a ^ (k-1) * b + nC2 a ^ (k-2) * b ^ 2 + …… ……

Segundo método (transformación de Laplace)

(Una prueba alternativa del teorema binomial

Por Kuldeep Kumar Kataria

The American Mathematical Monthly, Vol. 123, No. 10, p. 940.)

Answer 2

Considere un binomio [matemático] (x + y) ^ n [/ matemático] e intente expandirlo a mano. Miras el producto

[matemáticas] (x + y) \ cdots (x + y) [/ matemáticas]

y para cada término seleccione una x o una y. Por lo tanto, sumas un montón de términos de la forma [matemáticas] x ^ ay ^ {na} [/ matemáticas], cada uno con un coeficiente de 1.

Para una a fija, ¿cuántos términos de la forma [matemáticas] x ^ ay ^ {na} [/ matemáticas] hay? Este es solo el número de términos con exactamente una x en ellos. Para cada subconjunto de elementos a de los n términos en el producto, hay exactamente un término correspondiente. Por lo tanto, el coeficiente de [matemáticas] x ^ ay ^ {na} [/ matemáticas] es el número de subconjuntos de elementos a de un conjunto de elementos n, que es el coeficiente binomial

[matemáticas] n \ elija un [/ matemáticas].

Concluimos

[matemáticas] (x + y) ^ n = \ sum_ {a = 0} ^ n {n \ elige a} x ^ ay ^ {na} [/ matemáticas].

Este enfoque tiene la ventaja de que realmente deriva la fórmula, por lo que no es necesario conocerla de antemano para probarla.

Answer 3

¿Cómo pruebo el teorema binomial con inducción?

RTP: [matemáticas] (a + b) ^ n = \ sum \ limites_ {i = 0} ^ n {n \ elegir i} a ^ {ni} b ^ i [/ matemáticas] donde [matemáticas] n [/ matemáticas ] es un entero positivo

Esto es cierto cuando [matemática] n = 1 [/ matemática].

Deje que [matemáticas] (a + b) ^ k = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ k {k \ elegir i} a ^ {ki} b ^ i [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] (a + b) ^ {k + 1} = (a + b) ^ k (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a (a + b) ^ k + b (a + b) ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] = a \ sum \ limits_ {i = 0} ^ k {k \ elegir i} a ^ {ki} b ^ i + b \ sum \ limits_ {i = 0} ^ k {k \ elegir i} a ^ {ki} b ^ i [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ espacio a ^ k + a \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k {k \ elegir i} a ^ {ki} b ^ i + b \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {k -1} {k \ elige i} a ^ {ki} b ^ i + b \ space b ^ k [/ math]

[matemáticas] = a ^ {k + 1} + \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k {k \ elegir i} a ^ {k-i + 1} b ^ i + \ sum \ limits_ {i = 0 } ^ {k-1} {k \ elegir i} a ^ {ki} b ^ {i + 1} + b ^ {k + 1} [/ matemáticas]

Sustituya [matemática] j = i + 1 [/ matemática] en la segunda suma:

entonces [matemáticas] (a + b) ^ {k + 1} = a ^ {k + 1} + \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k {k \ elige i} a ^ {k-i + 1} b ^ i + \ sum \ limits_ {j = 1} ^ {k} {k \ elige j-1} a ^ {k- (j-1)} b ^ {j} + b ^ {k + 1} [ /matemáticas]

[matemáticas] = a ^ {k + 1} + \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k {k \ elegir i} a ^ {k-i + 1} b ^ i + \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ {k} {k \ elegir i-1} a ^ {k-i + 1} b ^ {i} + b ^ {k + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ {k + 1} + \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k [{k \ elige i} + {k \ elige i-1}] a ^ {k + 1-i} b ^ i + b ^ {k + 1} [/ matemáticas]

Para probar el teorema por inducción según sea necesario, debemos mostrar que [matemáticas] {k \ elegir i} + {k \ elegir i-1} = {k + 1 \ elegir i} [/ matemáticas]

[matemáticas] {k \ elegir i} + {k \ elegir i-1} = \ dfrac {k!} {(ki)! \ space i!} + \ dfrac {k!} {(k- (i-1))! \ space (i-1)!} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {k! (k-i + 1)} {(k-i + 1)! \ space i!} + \ dfrac {k! \ espacio i} {(k-i + 1)! \ space i!} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {(k + 1) k! -k! \ espacio i + k! \ espacio i} {(k + 1-i)! \ space i!} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {(k + 1)!} {(k + 1-i)! \ space i!} [/ math]

[matemáticas] = {k + 1 \ elija i} [/ matemáticas]

QED

Answer 4

Deje que [math] (x + y) ^ n [/ math] sea nuestro anfitrión por hoy
entonces, (x + y) (x + y) …… (x + y) será su forma expandida
y ahora, usaré [math] (x + y) ^ 4 [/ math] como ejemplo (para explicar)
[matemáticas] (x + y) ^ 4 [/ matemáticas] = (x + y) (x + y) (x + y) (x + y)
para x ^ 4, la única forma de obtener esta potencia es multiplicando todas las x juntas, de los 4 grupos de los que se debe sacar, por lo que debe haber [matemática] 4C4 [/ matemática] (lea como cuatro, elija cuatro o el número izquierdo elija el número correcto) tales combinaciones
Ahora, si observa su forma expandida (x + y) (x + y) (x + y) (x + y), cada [matemática] x ^ 3 * y ^ 1 [/ matemática] proviene de una combinación de ” 3 x y 1 y “s se multiplican juntas, y como hay 4 grupos de los cuales se puede sacar, entonces debe haber [matemática] 4C3 [/ matemática] o [matemática] 4C1 [/ matemática] combinaciones (ambas son equivalentes; 4 agrupaciones ambas tengo x e y, debo obtener x o y de cada uno de ellos, ¿de cuántas maneras puedo obtener 3 x de ellos?), lo que significa que hay [matemáticas] 4C3 x ^ 3 * y ^ 1 [/ matemáticas]
Cada [matemática] x ^ 2 * y ^ 2 [/ matemática] proviene de 2 x multiplicada por 2 y, lo que hace que haya combinaciones [matemática] 4C2 [/ matemática].
y así…
[matemáticas] (x + y) ^ 4 = 4C4 x ^ 4 + 4C3 x ^ 3 * y ^ 1 + 4C2 x ^ 2 * y ^ 2 + 4C1 x ^ 1 * y ^ 3 + 4C0 y ^ 4 [/ matemáticas ]
Ahora sustituimos n en
[matemática] (x + y) ^ n [/ matemática] = [matemática] nCn x ^ n [/ matemática] + [matemática] nCn-1 [/ matemática] {x ^ (n-1)} ([matemática] y ^ 1 [/ matemática]) ……… .. [matemática] nC2 (x ^ 2) [/ matemática] {y ^ (n-2)} + [matemática] nC1 (x ^ 1) [/ matemática] { y ^ (n-1)} + [matemáticas] nC0 (y ^ n) [/ matemáticas]
Existe el teorema binomial, lo expliqué usando lo que aprendí de los concursos, espero que haya ayudado.

Practique el teorema binomial: Academia Khan
(para [math] (xy) ^ n [/ math] haz que todas las x * ys con ys que tienen poderes impares sean negativas, puedes averiguar por qué por tu cuenta)

Elegir operación: combinación

La prueba que utilicé fue la prueba combinatoria, pero una prueba geométrica podría ayudar a aclarar las cosas (o desordenar dependiendo de su comprensión geométrica): Teorema binomial (prueba geométrica)

Answer 5

En la expansión de [math] (x + y) ^ n [/ math] es un término que se parece a [math] x ^ iy ^ j [/ math] donde [math] i + j = n [/ math]. Ahora imagine [math] (x + y) ^ n [/ math] como corchetes [math] n [/ math] sentados uno al lado del otro. Para construir el término que se parece a [math] x ^ iy ^ j [/ math] necesitamos elegir [math] i [/ math] de los corchetes para contribuir con [math] x [/ math] y [math] j [/ math] de ellos para contribuir a [math] y [/ math]. La forma de contar es [matemática] {n \ elegir i} [/ matemática]. Al elegir los corchetes [math] i [/ math] para [math] x [/ math], se elige automáticamente [math] j [/ math] para [math] y [/ math].

Entonces, un término de la expansión es [matemáticas] {n \ elegir I} x ^ iy ^ j. [/ Matemáticas] Para obtener todos los términos, use todas las combinaciones posibles de [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] j [ / math] para que [math] i + j = n [/ math].

Answer 6

Inducción. Las fórmulas recursivas para coeficientes binomiales hacen que esto sea bastante fácil.

Answer 7

Esta es la referencia más simple que pude encontrar sin conocer tu profundidad de conocimiento: Teorema binomial
Además, no sé cómo escribir los símbolos matemáticos.
Por favor perdoname; hágame saber si puedo ser de más ayuda.

Sinceramente.