Supongamos que L (n) es el mínimo común múltiplo de los primeros n enteros. ¿Tiene sentido asignar un valor finito a L (infinito)? (Importante: ver detalles de la pregunta)

Answer 1

No tengo ni idea de cuán legítimo es esto o qué aplicaciones prácticas tiene, pero obtuve la [matemática] 2 \ pi [/ matemática] realmente ordenada

Aquí está mi razonamiento:

En primer lugar, considere [math] \ log (L (n)) [/ math] porque es bastante más ordenado.

Tenga en cuenta que [matemática] L (n) -L (n-1) \ neq 0 [/ matemática] precisamente cuando [matemática] n = p ^ k [/ matemática] para algunos primos p. Si esto no es obvio, pruebe algunos ejemplos y piense por qué solo las potencias primarias importan

En ese caso, [matemáticas] L (n) = pL (n-1) [/ matemáticas]

Tomando logaritmos y sumando, encontramos:

[matemáticas] \ log (L (n)) = \ sum_ {k \ leq n} \ Lambda (k) [/ matemáticas]

Donde lambda representa la función de von Mangoldt, que satisface [math] \ Lambda (p ^ k) = \ log (p) [/ math] y es 0 de lo contrario. El logaritmo de L (n) es entonces la función Chebyshev que es EXTREMADAMENTE importante en la teoría analítica de números

Según un teorema muy profundo, conocido como el teorema del número primo, cuando n es grande, la función Chebyshev se acerca a ny, por lo tanto, podemos aproximarnos [math] \ log (L (n)) \ sim n [/ math] pero eso tampoco está aquí ni ahi.

Resulta que la función von Mangoldt tiene una serie Dirichlet definida por la siguiente bestia:

[matemáticas] \ sum_ {k \ geq 1} \ frac {\ Lambda (k)} {k ^ s} = – \ frac {\ zeta ‘(s)} {\ zeta (s)} [/ math]

Esto es válido para [math] Re (s)> 1 [/ math]. Este es el paso incompleto: s = 0 está fuera del rango de convergencia. Sin embargo, si conectamos s = 0, obtenemos:

[matemáticas] \ sum_ {k \ geq 1} \ Lambda (k) = \ log (L (\ infty)) = \ frac {\ zeta ‘(0)} {\ zeta (0)} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ zeta ‘(0)} {\ zeta (0)} = – \ frac {(1/2 \ log (2 \ pi))} {(- 1/2)} = \ log ( 2 \ pi) [/ matemáticas]

Exponencialmente obtenemos:

[matemáticas] L (\ infty) = 2 \ pi [/ matemáticas]