El número máximo de regiones formadas por n líneas que se cruzan dentro de un círculo es [matemáticas] {{n} \ choose {2}} + {{n} \ choose {1}} + {{n} \ choose {0}} = {{n + 1} \ elegir {2}} +1 [/ matemáticas]. ¿Cuál es una explicación intuitiva para estas fórmulas que un niño de 12 años puede entender?

Answer 1

Digamos que hemos dividido un círculo en un número de regiones con líneas [matemáticas] n [/ matemáticas]. En cada región, elija el punto más bajo. (Si esta descripción es ambigua, gire el diagrama hasta que no lo sea). El punto más bajo de cada región es un vértice entre dos líneas, un vértice entre el círculo y una línea, o el punto más bajo del círculo en líneas cero. Además, cualquier conjunto de dos, una o cero líneas identifica de manera única como máximo una región de esta manera. Por lo tanto, el número de regiones está limitado por [math] \ tbinom n2 + \ tbinom n1 + \ tbinom n0 [/ math]. En el caso de que todos los puntos de intersección sean distintos, cada conjunto de dos, una o cero líneas identifica exactamente una región, por lo que se alcanza este máximo.

Esto se generaliza a cualquier número de dimensiones: por ejemplo, los planos [matemáticos] n [/ matemáticos] dividen una esfera en como máximo volúmenes [matemáticos] \ tbinom n3 + \ tbinom n2 + \ tbinom n1 + \ tbinom n0 [/ matemáticos].