La relación que tenemos ahora para el volumen de una esfera, por supuesto, se puede establecer fácilmente hoy usando el cálculo.
Pero es un conocimiento muy antiguo, que se remonta a Arquímedes, quien estudió la relación entre el volumen de la esfera y el volumen del cilindro.
No se sabe mucho de lo que hizo Arquímedes para establecer primero su resultado en la relación del volumen de una esfera inscrita en un cilindro con el volumen del cilindro. Pero se sabe que utilizó el método del agotamiento.
El Palimpsesto de Arquímedes contiene una prueba geométrica formal de la proposición de que el volumen de la esfera inscrita es [matemática] 2/3 [/ matemática] el volumen del cilindro. De esto, y del volumen del cilindro, se sigue el resultado para la esfera.
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Sabemos que Pappus de Alejandría, que vivió unos 600 años después, parece haber establecido resultados muy interesantes sobre el volumen encerrado por una superficie de revolución, siendo una superficie de revolución la figura en tres dimensiones que se crea cuando se gira una curva plana. alrededor de un eje externo a esa curva.
El segundo teorema de Pappus es que el volumen encerrado por la superficie de la revolución es [matemática] V = A d [/ matemática] donde [matemática] d [/ matemática] es la distancia recorrida por el centroide del área [matemática] A [ / matemática] encerrada por la curva, ya que gira alrededor del eje externo.
Ahora, una esfera es claramente una superficie de revolución, por lo que el segundo teorema de Pappus se aplica al cálculo de su volumen.
De hecho, el centroide de un semicírculo de radio [matemática] r [/ matemática], que tiene un área de [matemática] A = \ frac {\ pi} {2} r ^ 2 [/ matemática], puede mostrarse a estar a una distancia [matemática] d = \ frac {4 r} {3 \ pi} [/ matemática] del eje de rotación, que intersecta el semicírculo en sus puntos antipodales.
Para mostrar eso, divide el semicírculo en dos partes iguales, dibujando dos líneas perpendiculares, la primera es perpendicular al borde, dividiendo el semicírculo en dos cuartos. El segundo es perpendicular al primero, y su distancia desde el borde se calcula fácilmente para dar [math] d [/ math].
Entonces, el número [math] d = 2 \ pi \ frac {4 r} {3 \ pi} [/ math] puede multiplicarse junto con [math] A [/ math] para obtener el volumen de la esfera [math] \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ math].