Geometría: ¿La inversión geométrica en el plano complejo no se curva cuando se ve como un campo vectorial? Si es así, ¿cuál es la función potencial del gradiente?

Answer 1

Estás considerando la función que se invierte en el círculo unitario. Se envía un número complejo [matemática] x + yi [/ matemática] al conjugado de su inverso, [matemática] \ dfrac {x + yi} {x ^ 2 + y ^ 2}. [/ Matemática]

A continuación, lo interpretamos como un campo vectorial [math] {\ mathbf F}: \ mathbb R ^ 2 \ to \ mathbb R ^ 2. [/ Math] Entonces

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ displaystyle {\ mathbf F} (x, y) = \ left (\ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2}, \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} \ right) [/ math]

Tenga en cuenta que este es un campo radial. Todas sus líneas de flujo son a lo largo de los rayos a través del origen.

Su rizo es
[matemáticas] \ displaystyle \ frac \ partial {\ partial x} \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} – \ frac \ partial {\ partial y} \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]

que es 0. Entonces este es un campo de irrigación.

Hay un teorema que dice Si [math] {\ mathbf F} [/ math] es un campo vectorial de irrigación definido en un dominio simplemente conectado en [math] \ mathbb R, [/ math] luego [math] {\ mathbf F} [/ math] es un campo de gradiente, el gradiente de algún campo escalar [math] f. [/ math] Ese [math] f [/ math] se denomina campo potencial para [math] {\ mathbf F}. [/ matemáticas]

Una región simplemente conectada en el plano es aquella en la que cada curva cerrada en ella puede reducirse hasta un punto mientras permanece en la región. En otras palabras, no tiene agujeros. El dominio de nuestro campo vectorial [math] {\ mathbf F} [/ math] es el plano completo menos el origen. Tiene un agujero, por lo que no es simplemente una región conectada.

Sin embargo, aún podría tener un campo potencial. Veamos. Estamos buscando una función [matemática] f (x, y) [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ qquad \ qquad \ displaystyle \ frac \ partial {\ partial x} = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} [/ math]
y
[matemáticas] \ displaystyle \ frac \ partial {\ partial x} = \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]

¡Ajá, hay uno!
[matemáticas] f (x, y) = \ dfrac {\ log (x ^ 2 + y ^ 2)} 2 [/ matemáticas]

Answer 2

Necesito leer un poco de Needham antes de poder darle una respuesta rigurosa (específicamente necesito aprender cuáles son las definiciones de función libre de rizos y potencial), pero puedo decirle heurísticamente que la respuesta es sí. Se supone que las funciones que tienen rizos hacen que las cosas giren. Todo lo que hace la inversión geométrica es mover puntos radialmente. Intercambia el interior del disco de la unidad con su exterior, pero todos los puntos permanecen en la misma línea radial. es decir, el punto [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math] se asigna a [math] f (z) = \ frac {1} {r} e ^ {i \ theta} [/ math].

No estoy seguro de cuál debería ser la función potencial. Se actualizará una vez que sepa más.

EDITAR: Un problema potencial puede ser que la inversión geométrica no es analítica.

EDIT 2: Parece [1] que el campo vectorial representado por inversión compleja ([matemática] H ^ \ bar = 1 / z ^ \ bar) [/ matemática]) tiene la función potencial [2]

[matemáticas] \ Omega (z) = \ ln (z) = \ ln (r) + i \ theta [/ matemáticas].

Esto tiene sentido porque se supone que la derivada del potencial es el conjugado complejo del campo vectorial:

[matemáticas] \ Omega ‘= H [/ matemáticas]

y de la definición de [matemáticas] H ^ \ bar [/ matemáticas],

[matemáticas] H = \ frac {1} {z} [/ matemáticas]

que es exactamente la derivada analítica de [math] \ Omega = \ ln (z) [/ math].

[1] Ver Needham p.503

[2] Como siempre, existe una ambigüedad en el significado de [math] \ theta [/ math], el ángulo de un punto en el plano complejo; solo se define hasta un múltiplo de [math] 2 \ pi [ /matemáticas]. La forma de resolver esto en este contexto parece ser (nuevamente, referirse a Needham) para definir el potencial como el trabajo realizado a lo largo de un camino [matemático] L [/ matemático] que va desde algún punto inicial, digamos, 1, hasta el final punto, [matemáticas] z [/ matemáticas]. El ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] es entonces el valor principal del ángulo (el que está entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 2 \ pi [/ matemática]) más [matemática] 2 \ pi [/ math] multiplicado por el número de bobinado de la ruta [math] L [/ math] alrededor del poste en el origen.