Geometría: ¿Cómo se traduce la métrica euclidiana en la esfera de Riemann al plano?

Answer 1

tl; dr:

[matemáticas]
d_ \ text {great} (z, z ‘) = 2 \ arcsin \ frac {| z – z’ |} {\ sqrt {(1 + | z | ^ 2) (1 + | z ‘| ^ 2)} }
[/matemáticas]

Métrica de gran círculo:

Si interpreto correctamente, desea la distancia del gran círculo entre dos puntos, es decir, la distancia más corta a lo largo de la superficie de la esfera. Sin embargo, esta es una métrica en el espacio de la esfera (unidad) [matemática] S ^ 2 [/ matemática]. Queremos una métrica correspondiente en la esfera de Riemann [math] \ mathbb {C} _ \ infty [/ math].

Hago esta distinción porque, para ser breve: la esfera de Riemann es una variedad compleja unidimensional independiente de la integración [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] que da su nombre. Sin embargo, su estructura compleja fija significa que todas las métricas de Riemann en ella son conformacionalmente equivalentes. De estas métricas, hay una clase de métricas con las que uno puede equipar [math] \ mathbb {C} _ \ infty [/ math] para obtener una variedad riemanniana de curvatura constante [math] K [/ math].

Fuera de esta clase, tome la métrica que da [matemáticas] K = 1 [/ matemáticas]. Esta métrica [math] \ mathbb {C} _ \ infty [/ math] coincide con la distancia del gran círculo en [math] S ^ 2 [/ math] bajo la proyección estereográfica [math] S ^ 2 \ to \ mathbb {C} _ \ infty: Z \ mapsto z [/ math] representado aquí:

Es esta [math] \ mathbb {C} _ \ infty [/ math] -metric que queremos describir en términos del plano complejo regular [math] \ mathbb {C} [/ math] -metric, que denotamos convencionalmente como [math] | \ cdots | [/ math].

Métrica cordal:

Nuestra derivación utilizará una métrica relacionada [math] \ mathbb {C} _ \ infty [/ math] también motivada por la esfera de la unidad.

Recuerde que [math] S ^ 2 \ subset \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. Defina la longitud del cordal como la distancia en línea recta en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] entre dos puntos en la esfera, es decir,

[matemáticas]
d_ \ text {acorde} ^ {S ^ 2} (\ vec {x}, \ vec {y}) = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {3} (x_i – y_i) ^ 2}.
[/matemáticas]

Como antes, queremos la métrica [math] \ mathbb {C} _ \ infty [/ math] que corresponde a esta [math] S ^ 2 [/ math] -metric bajo proyección estereográfica. Este es un ejercicio estándar desarrollado, por ejemplo, en Ahlfors. La fórmula es (stackexchange.com):

[matemáticas]
d_ \ text {acorde} ^ {\ mathbb {C} _ \ infty} (z, z ‘) = \ frac {2 | z – z’ |} {\ sqrt {(1 + | z | ^ 2) (1 + | z ‘| ^ 2)}}.
[/matemáticas]

Fórmula:

Deje que [math] L [/ math] denote la longitud del acorde de una esfera. Entonces, la correspondiente distancia del gran círculo (Gran distancia del círculo) para el radio de la esfera 1 es

[matemáticas]
2 \ arcsin \ frac {L} {2}.
[/matemáticas]

Ahora podemos deducir nuestra métrica [math] \ mathbb {C} _ \ infty [/ math] apelando a estas correspondencias [math] S ^ 2 [/ math]. Al componer la métrica cordal con la fórmula de conversión, obtenemos

[matemáticas]
d_ \ text {great} (z, z ‘) = 2 \ arcsin \ frac {d_ \ text {acorde} (z, z’)} {2},
[/matemáticas]

que se expande a

[matemáticas]
d_ \ text {great} (z, z ‘) = 2 \ arcsin \ frac {| z – z’ |} {\ sqrt {(1 + | z | ^ 2) (1 + | z ‘| ^ 2)} }.
[/matemáticas]

Una versión equivalente de arcotangente también se puede deducir mediante la integración y la geometría diferencial, utilizando el criterio [matemático] K = 1 [/ matemático] descrito anteriormente.

Equivalencia métrica:

La métrica cordal y la métrica compleja regular son intercambiables en conjuntos acotados (para definiciones topológicas como puntos límite) (Variables complejas aplicadas). ¿Es esto también cierto para la métrica del gran círculo?

Tenga en cuenta que podemos reescribir como

[matemáticas]
d_ \ text {acorde} (z, z ‘) = 2 \ sin \ frac {d_ \ text {great} (z, z’)} {2}.
[/matemáticas]

Dado que [math] \ frac {2 \ theta} {\ pi} \ le \ sin \ theta \ le \ theta [/ math] para [math] 0 \ le \ theta \ le \ frac {\ pi} {2} [ / math], concluimos que (Página en math.utu.fi, pg. 178):

[matemáticas]
\ frac {2} {\ pi} d_ \ text {great} \ le d_ \ text {acorde} \ le d_ \ text {great}.
[/matemáticas]

Por lo tanto, las dos métricas inducen la misma topología en [math] \ mathbb {C} _ \ infty [/ math]. En conjunto, esto significa que la métrica de gran círculo también es “intercambiable” con la métrica compleja.

Answer 2

Las longitudes (circunferencias) de los grandes arcos circulares en la esfera son todas iguales, pero cuando se proyectan en un plano, varían en forma (desde un círculo pequeño hasta una línea infinita) y en longitud (o medida) de 0 a infinito.

Todos los ejemplos aquí están con la hipótesis de la proyección estereográfica típica: la esfera se encuentra en el plano y está centrada en el origen, y el punto de proyección es la cumbre de la esfera, a una altura de 2 R donde R es el radio de la esfera.

Por ejemplo, el ecuador de la esfera se transforma en un círculo con radio doble al de la esfera y centrado en el origen.

Cualquier gran círculo meridiano se transforma en una línea recta en el plano que pasa por el origen.
Entonces la longitud en este caso es infinita.

Cuanto más se acerca el plano del gran círculo a vertical, mayor es la circunferencia de su imagen.

Hay muchas imágenes disponibles de proyección estereográfica en la web. Agregaré algunos de ellos disponibles como CC si los necesita.