¿Por qué es difícil demostrar la irracionalidad de e + pi, e ^ pi y otras combinaciones de e y pi?

Answer 1

El obstáculo básico es que realmente tienes que saber mucho sobre un número para demostrar que es irracional. Debe probar un número infinito de cosas cuando demuestre que un número es irracional (es decir, que no es una fracción con denominador 2, ni denominador 3, ni …), y eso requiere un control firme sobre el número y sus propiedades .

Por ejemplo: sabemos que e y pi son irracionales (aunque estos no son teoremas fáciles de probar). Sabemos esto porque estos son números muy especiales. El número e es especial principalmente porque la función e ^ x es especial: es su propia derivada, por lo que es relativamente fácil calcular derivadas e integrales que involucran e ^ x. Esto abre un conjunto de herramientas bastante grande, que incluye algunas formas bastante nítidas de expresar e con series infinitas. Del mismo modo, pi es especial porque las funciones seno y coseno son relativamente fáciles de estudiar mediante el cálculo.

Un número como e + pi no tiene mucho para agarrar (hasta donde yo sé). Las herramientas especiales que tienes para estudiar e o para estudiar pi no tienen nada obvio que decir sobre su suma.

Es una paradoja divertida: los números irracionales son la norma, no la excepción: los números racionales son realmente bastante inusuales y especiales. Sin embargo, para saber con certeza que un número no es racional, debe ser extremadamente especial de alguna otra manera. Quizás esto cambie a medida que crezca nuestro conocimiento, pero en este momento probar que la irracionalidad parece ser irremediablemente difícil en la mayoría de los casos.

Answer 2

En cuanto a su última consulta para encontrar dos irracionales cuya suma es racional, este es un problema básico de teoría de números / libro de texto de fundamentos: es decir, Agregar pi + (-pi). .

Para la pregunta principal …

Recordemos: un número racional es de la forma p / q donde p, q son enteros y q no es 0. Un número irracional se define por un negativo: es un número real que no es racional. Entonces, al no tener una forma formal de definir un irracional, estamos detrás de la bola 8 al tratar de demostrar que un número es irracional. Por lo tanto, típicamente demostramos que un número es irracional por contradicción: suponiendo que sea racional y llegando a una contradicción.

Si establecemos e + pi = p / q donde p y q se reducen a los términos más bajos y q no es 0 (que es lo típico), no podemos manipular la ecuación para obtener la contradicción. Golpeamos una pared de ladrillos.

Lo siguiente es usar una variación del teorema de la raíz racional que dice que las raíces de un polinomio monico con coeficientes enteros son enteros o irracionales. Bueno, no podemos llegar a un polinomio con una raíz de “e + pi”.

¿Por qué? La mejor manera que puedo explicar es la siguiente:

El número e es el límite de (1 + 1 / n) ^ n como n-> infinito. Se encuentra más comúnmente en la fórmula para capitalizar (continuamente), así como en su propio derivado.

El número pi es la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro. A diferencia de e, que se define mediante una fórmula real, pi solo se puede aproximar.

Por lo tanto, e y pi se definen de dos maneras completamente diferentes y no relacionadas, por lo que no hay forma de agarrar a ambos, combinarlos y demostrar que la suma es irracional. ¡Son bestias completamente diferentes y, como señaló la publicación anterior, no tienen propiedades algebraicas simples!

Answer 3

El problema con e y pi en particular es que no solo no son ni racionales, sino que ambos son trascendentales. Es mucho más fácil probar cosas sobre los números algebraicos (números que son las raíces de polinomios con coeficientes racionales; los trascendentales son lo opuesto).

Por ejemplo, si usted pregunta si [math] \ sqrt {2} + \ sqrt {3} [/ math] fue racional o no, podría demostrar que no es construyendo el polinomio cuártico que es una solución de ( pista: es el polinomio con las raíces [matemáticas] \ pm \ sqrt {2} \ pm \ sqrt {3} [/ matemáticas]), y demuestra que ese polinomio no tiene raíces racionales. No es fácil (y tal vez imposible) hacer lo mismo con [math] e + \ pi [/ math] porque no podemos simplemente observar las otras raíces: no hay propiedades algebraicas simples de [math] e [/ math] y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] para venir a nuestro rescate.

Answer 4

Una pregunta más general que la racionalidad es la cuestión de si un número, r , es la raíz de un polinomio con coeficientes racionales. Es decir, ¿hay algún polinomio de la forma p (x) = q_0 + q_1x ^ 1 + q_2x ^ 2 + q_nx ^ n donde todos los coeficientes son racionales y al menos un coeficiente no es cero de modo que p (r) = 0. En este caso, el número r se llama algebraico. Un número es trascendental si no es algebraico. Cada número racional m / n es algebraico: dejando p (x) = nx-m tenemos p (m / n) = 0.

Una pregunta más fuerte que preguntar si un número es racional es preguntar si el número es incluso algebraico. Se sabe que los números e y pi son trascendentales. Probar la trascendencia de un número particular suele ser bastante difícil, pero en la década de 1880 se sabía que e y pi son trascendentales. Por cierto, esto muestra que el problema clásico de cuadrar el círculo usando solo una brújula y un borde recto no es solucionable.

Es divertido que cada cierto tiempo los departamentos de matemática obtengan documentos largos que pretenden cuadrar el círculo. Nadie los lee para encontrar el error y no es difícil ir a la web y encontrar teorías de conspiración de que los matemáticos están suprimiendo estos resultados.

La irracionalidad de e y pi es accesible al final de un curso de cálculo de segundo término.

Voy a suponer que sabes lo que es un número complejo. El concepto de irracionalidad puede extenderse a los números complejos, en cuyo caso cualquier número de la forma a + bi es irracional cuando b no es 0.

Además, aunque no es obvio cómo hacerlo, se puede entender el z ^ w exponencial para z y w números complejos.

Necesitas saber cuál es quizás la ecuación más hermosa en matemáticas (debido a Euler)

e ^ (ir) = cos (r) + isin (r).

En el caso de que r = pi obtenemos

e ^ (i * pi) = – 1 .

Este teorema se prueba fácilmente al final de un curso de cálculo de segundo término.

Ahora podemos citar un teorema (Schneider-Gelfond): para un número algebraico, posiblemente complejo z con z no 0 o 1 yw cualquier número irracional z ^ w es trascendental. Este es un teorema profundo y la prueba es bastante complicada, el resultado no se probó hasta la década de 1930, pero todo lo que necesita saber es el resultado.

Obsérvese que según el teorema de Euler

e ^ pi = (e ^ (i * pi)) ^ (- i) = (- 1) ^ i

Entonces, e ^ pi trascendental según el teorema de Schneider-Gelfond. Entonces, dada una parte considerable de la teoría de números del siglo XX, se puede demostrar que e ^ pi es trascendental y, por lo tanto, irracional.

Finalmente, con algunos resultados simples de la asignatura Álgebra moderna , que no es el álgebra que se aprende en la escuela secundaria, no es difícil demostrar que si p (x) es un polinomio con coeficientes algebraicos, con al menos un coeficiente distinto de cero y p (r) = 0, entonces r es algebraico.

Examinando el polinomio (xe) (x-pi) = x- (e + pi) x + e * pi. Obtenemos el resultado de que uno de e + pi o e * pi no es algebraico y mucho menos racional.

Ahora, esto no responde a su pregunta de por qué es difícil demostrar que e + pi o e * pi es irracional, de hecho, actualmente no se sabe si ninguno de ellos es algebraico, por lo que la afirmación de De Deo de que e + pi es trascendental no es correcto. pero te da el camino (no fácil) para mostrar que e ^ pi es trascendental y, por lo tanto, irracional.

Agregando al último párrafo de Pflueger, puede parecer paradójico que los números trascendentales sean la norma y los números algebraicos sean la excepción. A finales del siglo XIX, el matemático Cantor formalizó la noción de cómo se discute el tamaño de los conjuntos. Resulta que la colección de números algebraicos es infinita, pero el tamaño del conjunto de números trascendentales es un infinito mucho mayor.

Answer 5

Estrictamente hablando, a partir de ahora (según mi conocimiento) no está demostrado que la combinación (al menos algunas de ellas) sea irracional.

Por ejemplo, tomemos pi-e.

Ahora hay un argumento reciente en los foros de matemáticas (consulte PBSinfiniteSeries) que cuestiona la cantidad de dígitos en los que pi y e son diferentes. Una suposición intuitiva se encuentra en infinitos lugares. Pero como no está probado, tomemos nuestro ejemplo de pi-e cuando solo hay muchos lugares donde difieren.

Cuando solo hay diferencias finitas, la diferencia de diguts pi-e será cero después de la última de ellas. Lo que significa racional. Tenga en cuenta que esto también sucede cuando después de un número finito de diferencias, la diferencia de los dígitos sigue a cualquier dígito constante o una repetición de una matriz arbitrariamente larga de dígitos ordenados.

Por último, mi respuesta a la pregunta directamente será, porque nuestro conocimiento de los patrones / propiedades de los dígitos de e y pi es muy limitado; Todavía.

Por cierto, recomendaría el video PBSinfiniteSeries.

Answer 6

La raíz cuadrada de 2, la longitud de la diagonal de una unidad cuadrada, fue aproximada por los babilonios del antiguo período babilónico (1900 a. C. – 1650 a. C.) como
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Porque es un número irracional, no puede expresarse exactamente en sexagesimal (o de hecho cualquier sistema de base entera), pero su expansión sexagesimal comienza 1; 24,51,10,7,46,6,4,44 …
La duración del año tropical en la astronomía neobabilónica (ver Hiparco), 365.24579 … días, se puede expresar en sexagesimal como 6,5; 14,44,51 (6 × 60 + 5 + 14/60 + 44/602 + 51/603) días. La duración promedio de un año en el calendario gregoriano es exactamente 6,5; 14,33 en la misma notación porque los valores 14 y 33 fueron los primeros dos valores para el año tropical de las tablas de Alfonsine, que estaban en notación sexagesimal.
El valor de π utilizado por el matemático y científico griego Claudio Ptolomeo (Ptolomeo) fue 3; 8,30 = 3 + 8/60 + 30/602 = 377/120 ≈ 3.141