¿Hay algún orden en el que aprenda sobre las maravillas de la teoría de números?

Answer 1

Chico … Bueno, elegiste un tema gigante. Bueno, antes que nada necesitas un conocimiento básico de álgebra abstracta, y en particular la teoría de Galois y los anillos de Dedekind. Supongo que el libro de álgebra de Lang hace un trabajo de descenso, aunque estoy seguro de que la gente puede sugerir referencias más concisas.

En este punto, le sería posible aprender sobre el teorema de reciprocidad cuadrática. Al principio, eso es solo un teorema claro. Pero abre las compuertas para muchas matemáticas. Conduce a una vasta generalización llamada Class Field Theory. Una referencia descendente para todo esto es el libro Algebraic Theory de Neukirch. Entonces le sería posible aprender sobre formas modulares y el teorema de la modularidad. (Hay un gran libro llamado Fearless Symmetry que explica estas cosas muy bien, y no supone que conoces ninguna matemática avanzada). Eso te confundirá mucho. Esto se debe a que la forma correcta de pensar sobre CFT y el teorema de la modularidad es realmente una cosa llamada Programa Langlands. Es posible que * pueda * comprender * algunos * del Programa Langlands dentro de unos años. (Ver el libro de Ed Frenkel “Amor y Matemáticas” para una descripción general de lo que se trata Langlands).

Una dirección diferente de la teoría de números es la Geometría Aritmética (= Geometría Algebraica). Tendrá que aprender sobre los esquemas de variedades (“Libro rojo de variedades y esquemas” de Mumford) (“Geometría algebraica” de Hartshorne) y las Conjeturas de Weil. Eso es muy difícil, pero está mucho más motivado que lo que describí en el párrafo anterior.

En definitiva, todas las ideas anteriores se relacionan entre sí. Pero lleva años ver cómo se entrelaza todo.

Answer 2

Soy un gran admirador de Euclid’s Window: The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace: Leonard Mlodinow: 9780684865249: Amazon.com: Books, es muy legible.

Este es otro buen libro Por qué importa un problema no resuelto en matemáticas: Amazon.es: Marcus Du Sautoy: Libros

La teoría de números es bastante accesible porque se trata de algo bastante básico.

Yo diría que si está siendo recreativo, investigue la historia y el legado de los números. Leer los elementos de Euclides es un buen punto de partida.

Creo que te beneficiarás de estar familiarizado con cualquier conocimiento de Fibonacci y las bases numéricas.
A continuación, ponte al día con el Álgebra abstracta, creo que necesitas un enfoque individual para esto, obtuve alrededor de una docena de libros de la biblioteca hasta que encontré uno que podía leer.
Harvard hace Lectures Abstract Algebra y el libro gratuito aquí Theory and Applications (A Free Textbook)

Realmente puedes seguir tus intereses. Nadie lo sabe todo, necesita un amplio conocimiento en varias áreas. Debe conocer la idea de la prueba matemática y tener bastante confianza en las bases numéricas y grupos, anillos y campos.

Una eterna trenza dorada: Amazon.es: Douglas R. Hofstadter: Libros
Esto es bastante legible, pero ten en cuenta que es un poco largo, hay videos de YouTube

Si lo hace de forma recreativa, simplemente siga lo que le interesa, pero no deje caer nada solo porque es difícil. Consigue otro libro o sigue luchando.

Para la teoría de números, necesita un área amplia de conocimiento, pero no tiene que ser muy profunda, siempre y cuando realmente comprenda los conceptos.
Leí las pruebas publicadas por Boylai y Lobochevsky. Las pruebas son relativamente legibles, y me gusta ir a las fuentes.

Soy tacaño, uso los servicios de la biblioteca y veo cosas gratis. Después de eso, es justo lo que encuentras divertido. Me gusta mucho explorar áreas que no conozco. A menudo, si nos fijamos en muchos de los rompecabezas antiguos, una cosa lleva a la otra.

No olvides Cantor o la continuidad, es algo que perdí el tiempo ignorando.