¿Cuál es el dígito unitario de 3 ^ 460?

Answer 1

Respuesta: [matemáticas] 1 [/ matemáticas]

Hay dos formas de visualizar esto:

1. La más fácil es que cada número sigue un patrón de repetición en el lugar de las unidades que puedes notar fácilmente. Si anotas las primeras potencias de 3:

[matemáticas] 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 … [/ matemáticas]

Ahora puede ver que el patrón es: 1-3-9-7
o por cada [matemática] 3 ^ x [/ matemática], la respuesta es:

• [matemáticas] 1 [/ matemáticas], si [matemáticas] x \ pmod {4} = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 3 [/ matemáticas], si [matemáticas] x \ pmod {4} = 1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 9 [/ matemáticas], si [matemáticas] x \ pmod {4} = 2 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 7 [/ matemáticas], si [matemáticas] x \ pmod {4} = 3 [/ matemáticas]

2. La segunda forma más general es calcular [matemáticas] a ^ b \ pmod {10} [/ matemáticas] que funcionaría para cualquier [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas].

Explota el hecho de que [math] a ^ b \ pmod {m} [/ math] puede reescribirse como [math] (a \ pmod {m}) ^ {b \ pmod {\ phi (m)}} [/ math], donde [math] \ phi (m) [/ math] es la función totient de Euler de [math] m [/ math].

Como [math] \ phi (10) = 4 [/ math], su problema se convierte en [math] (3 \ pmod {10}) ^ {460 \ pmod {4}} [/ math],
o más simplemente, [matemáticas] 3 ^ 0 [/ matemáticas], que es [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Answer 2

Hay un algoritmo para encontrarlo.
(Puedes usar esto para cualquier número)
Que la base sea a y el poder sea b .
Tome el dígito unitario de a , déjelo ser m.
Tome los dos últimos dígitos de b , que sea n.
Encuentre el resto de n / 4, déjelo ser r (si el resto es 0, tome r como 4)
ahora m ^ r da un número. Toma el dígito de la unidad.
dígito unitario de a ^ b ≈ dígito unitario de m ^ r
Aquí,
m es 3
n es 60, entonces r es 4 [60/4 da 0 como resto, entonces 4 ]
m ^ r ≈ 3 ^ 4 = 81 ≈ 1

Answer 3

Como muchos otros han respondido antes que yo, pero un poco más brevemente

[matemática] 3 ^ {460} = \ grande (3 ^ 2 \ grande) ^ {230} \ equiv (-1) ^ {230} = 1 \ pmod {10} [/ matemática].

El dígito de las unidades de [math] 3 ^ {460} [/ math] es [math] 1 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 4

La aritmética modular puede simplificar esto mucho para nosotros, queremos [matemática] 3 ^ {460} [/ matemática] módulo 10, es decir, el resto de la división de [matemática] 3 ^ {460} [/ matemática] por 10 .

[matemáticas] 3 ^ {460} = (3 ^ {10}) ^ {46} = ((3 ^ 2) ^ 5) ^ {46} [/ matemáticas]

Sin embargo, [matemáticas] 3 ^ 2 \ equiv-1 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Podemos usar el siguiente teorema: [matemáticas] a \ equiv b \ pmod n \ Leftrightarrow a ^ k \ equiv b ^ k \ pmod n, \ quad n, k \ in \ N [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] 3 ^ {10} \ equiv (-1) ^ 5 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 3 ^ {10} \ equiv -1 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Y [matemáticas] (3 ^ {10}) ^ {46} \ equiv (-1) ^ {46} \ pmod {10} \ Leftrightarrow (3 ^ {10}) ^ {46} \ equiv 1 \ pmod {10 }[/matemáticas]

Entonces [matemáticas] 3 ^ {460} \ equiv 1 \ pmod {10} [/ matemáticas]. Lo que hace que el dígito unitario de [math] 3 ^ {460} [/ math] sea el número 1.

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 5

El último dígito de cualquier número elevado a otro número dependerá únicamente de los últimos dígitos de dos números .

Ahora, resolvemos el problema dado.

[matemáticas] {3 ^ {460}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = {3 ^ {2 \ veces 230}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = {[{(3) ^ 2}] ^ {230}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = {\ izquierda [9 \ derecha] ^ {230}} [/ matemáticas]

Sabemos que la ciclicidad de [math] 9 [/ math] es [math] 2 [/ math] .

Es decir, el dígito unitario (último dígito) de 9 elevado a cualquier número tendrá solo dos números. Son [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 9. [/ matemáticas]

Cuando el poder es impar, (como [matemática] {9 ^ 1}, {9 ^ {13}}, {9 ^ {47}} [/ matemática]) entonces su último dígito es 9.

Cuando el poder es par, (como [matemática] {9 ^ 2}, {9 ^ {14}}, {9 ^ {60}} [/ matemática]) entonces su último dígito es 1.

Ahora, completaremos esta solución respondiendo el último dígito de

[matemática] {\ izquierda [9 \ derecha] ^ {230}} [/ matemática].

Como 634173 es un número par, por lo tanto, el último dígito de [math] {\ left [3 \ right] ^ {460}} [/ math] será 1.

Espero que esto te ayude

Gracias por la pregunta

Answer 6

El dígito de unidad de 3 [matemática] ^ {1} [/ matemática] es 1
El dígito de la unidad de 3 [matemática] ^ {2} [/ matemática] es 9
El dígito unitario de 3 [matemática] ^ {3} [/ matemática] es 7
El dígito de unidad de 3 [matemática] ^ {4} [/ matemática] es 1
.
.
Repite o comienza el ciclo.
Ahora debemos verificar cuál es el resto cuando 460 se divide por 4, que es 0, de modo que la respuesta es la misma que el último dígito de [matemáticas] 3 ^ {4} [/ matemáticas] que es [matemáticas] 1 [/ matemáticas ]

¿Cuál es el dígito unitario de 3 ^ 460?

Answer 7

Los dígitos de la unidad cuando 3 se eleva a un número siguen el patrón 3, 9, 7, 1
3 ^ 1 -> 3
3 ^ 2 -> 9
3 ^ 3 -> 7
3 ^ 4 -> 1

Este patrón de 3, 9, 7, 1 se repite, es decir, el dígito de la unidad se repite cada cuatro términos.
Entonces, dígito unitario de 3 ^ x = dígito unitario de 3 ^ (x-4) = dígito unitario de 3 ^ (x-2 * 4) y así sucesivamente … finalmente obtenemos 3 ^ (el resto cuando x se divide por 4)

460/4 = 115 con resto = 0. Esto es completamente divisible, por lo que el resto mínimo mayor que cero es el divisor mismo.
Por lo tanto, el dígito unitario de 3 ^ 460 = el dígito unitario de 3 ^ 4 es 1.

Answer 8

1

En caso de que desee más dígitos finales:

long long PowerMod(long long x, long long y, long long mod) { long long res = 1; for (; y ; y /= 2) { if (y % 2 == 1) { res = res * x % mod; } x = x * x % mod; } return res; } int main() { cout << PowerMod(3, 460, 10) << endl; return 0; } 

Answer 9

[matemáticas] \ large \ boxed {3 ^ 2 \ equiv -1 (mod \ space 10) \ Rightarrow (3 ^ 2) ^ {230} \ equiv (-1) ^ {230} (mod \ space 10) \ Rightarrow 3 ^ {460} \ equiv 1 (mod \ espacio 10)} [/ math]

Por lo tanto, el dígito de la unidad requerida es [math] \ Huge \ boxed {1} [/ math]

Answer 10

Respuesta corta: 1

Respuesta larga: [matemáticas] ^ {3} = 460 [/ matemáticas] 2990729751391794583473865279078153120354743541686510786548805073155682543673323590063966063874239696825920847359244701864911720990812071488513473141652652582807162976554385419337973458490689019641899341724440996550121201

Entonces, la respuesta es 1

Sé que esto se puede responder fácilmente usando aritmética modular, pero solo quería dar una respuesta no convencional.

Answer 11

3 ^ 2 = (- 1) mod10
(3 ^ 2) ^ 230 = (- 1) ^ 230mod 10
3 ^ 460 = 1mod 10
por lo tanto, el resto cuando 3 ^ 460 por 10 es 1 o un dígito de unidades de 3 ^ 460 es 1