¿Cómo se relacionan la suma de números y la unión de conjuntos?

Answer 1

Enrejados

Una unión de conjunto normal se comporta como + de una manera bastante abstracta. Agitando muchos detalles a mano, comenzamos con la idea de que el límite superior mínimo en una red se comporta como +. Si tenemos alguna relación ≤, el límite superior mínimo de x e y es el elemento menor z tal que x ≤ z e y ≤ z . Si tomamos ⊆ como nuestro ≤, nuestro límite superior mínimo entre dos conjuntos será su unión.

No entraré en ningún lugar cercano a todos los detalles, pero la idea central es que un límite superior mínimo en un conjunto parcialmente ordenado es un tipo especial de estructura llamada coproducto o suma teórica de categoría. Entre otras razones, esta estructura recibe el nombre porque es una generalización de sumas teóricas de conjuntos (uniones disjuntas, que discuto a continuación), y estas (así como otros ejemplos) se comportan de alguna manera como sumar números.

Por supuesto, nadie que escriba una lista de compras está pensando en estos términos. Pero es lindo pensar en eso. En última instancia, esta es solo una forma de reificar la intuición de que tanto la suma como la unión son formas de combinar elementos en algo más grande, que es la intuición real a la que la gente está respondiendo.

Uniones disjuntas

Dicho esto, en realidad tenemos un análogo más natural para sumar en teoría de conjuntos, pero es diferente de una unión. Una suma teórica de conjuntos es una unión disjunta ; esta es una unión en la que realiza un seguimiento de qué conjunto provienen los elementos. Aquí está la diferencia entre ellos:

Si tenemos {Leche, Pan} y {Leche, Queso}, su unión es {Leche, Pan, Queso}. Su unión disjunta es {(0, Leche), (0, Pan), (1, Leche), (1, Queso)}. Esencialmente, etiquetamos a cada miembro de nuestro nuevo conjunto por el cual originalmente proviene.

Esto a menudo se llama una “suma teórica de conjuntos” porque, en conjuntos con cardinalidades finitas, la cardinalidad del conjunto resultante es siempre la suma de las cardinalidades de sus entradas. Esto también está relacionado con los tipos de suma en la programación funcional.

Entonces diría que la relación más natural entre unión y + es en realidad entre uniones disjuntas y +.

Finalmente, tanto las uniones como las uniones disjuntas están intuitivamente relacionadas con + porque son todas formas de combinar dos elementos para hacerlos más grandes . En última instancia, esto es lo único que hace que las personas escriban + para listas como esta, ¡pero definitivamente es divertido pensar en las estructuras particulares!

Answer 2

Lo que ha hecho es una simple sobrecarga del operador, es decir, ha asignado múltiples interpretaciones y significados al operador +. En la práctica, cuando dices que estás usando la suma entre la leche y el pan, en realidad no estás haciendo eso. Lo que estás haciendo es usar el símbolo +, que comúnmente se asocia a la suma. No tiene que haber ninguna relación “fundamental” entre las diferentes formas en que puede usar su operador, y todo seguirá funcionando bien, siempre que haya poco espacio para dudar sobre el significado real que desea usar en cualquier hora.

En su ejemplo, asigna al operador + el significado de la suma y la unión. Esto significa que puedes hacer 4 + 5 y sabes que estás usando la suma (porque los operandos son números y no conjuntos), y puedes hacer leche + pan y saber que estás usando la unión, porque la suma entre objetos no está definido. También puede {4} + {7} y ​​sabe que la solución es {4, 7}, es decir, la unión, porque los operandos en este caso son conjuntos. En principio, podría haber usado el símbolo … para denotar la unión, y podría haber escrito ‘leche … romper’, y todo habría estado bien, siempre y cuando sepa lo que significa el símbolo.

El punto es que los símbolos como +, U, ¦, etc., son solo símbolos. Les asignamos diferentes tipos de significado y semántica, y la mayoría de las veces hay superposiciones en estos significados, pero eso está bien siempre que la superposición no sea también ambigua en ningún uso real.

Answer 3

La pregunta que hace es si esta escritura informal se traduce en algo formal. Creo que la respuesta es que no. Creo más bien que estás malinterpretando la escritura: muchas personas usan algo que parece un signo más cuando significan “y”, al menos para cosas escritas a mano.