Cómo demostrar que la diferencia entre cualquier número entero impar y cualquier número entero par es impar

Answer 1

Lo siento, no sé Latex (Editar: lo descubrí), pero es una prueba simple incluso para mí, así que aquí va.

Un número impar arbitrario tiene la forma [math] 2k-1 [/ math], y un número par tiene la forma [math] 2m [/ math]. Tomando la diferencia obtenemos [matemáticas] (2k-1) – (2m) [/ matemáticas]. Esto puede reescribirse como [matemática] 2k-2m-1 [/ matemática], y nuevamente como [matemática] 2 (km) -1 [/ matemática] suponiendo [matemática] k> m [/ matemática]. Como [math] k [/ math] y [math] m [/ math] son ​​enteros, por la definición de un número par [math] 2 (km) [/ math] es par. Por lo tanto, [matemáticas] 2 (km) -1 [/ matemáticas] debe ser impar. (Para que el resultado final sea más claro, [math] km [/ math] podría ser sustituido por otra variable ya que ambos son enteros, por ejemplo [math] j [/ math]. Entonces la expresión es de la forma [math] 2j-1 [/ matemática], claramente impar.)
[matemáticas] QED [/ matemáticas]

Answer 2

Las definiciones de pares e impares significan que puede escribir un número par (x) y un número impar (y) de la siguiente manera:

x = 2m
y = 2n + 1

Donde m, n son enteros. Así que elige una x e y arbitraria:

yx = 2n + 1 – 2m
= 2 (nm) + 1

Como nm es un número entero, volviendo a la definición de número impar, sabemos que yx es impar.

Answer 3

Un entero, [math] n [/ math] es impar si y solo si puede escribirse en la forma [math] n = 2k + 1 [/ math] para cualquier entero [math] k [/ math]. De manera similar, un número entero [math] m [/ math] es incluso si se puede escribir como [math] m = 2p [/ math] para cualquier número entero, [math] p [/ math].

Entonces, si restamos un entero impar de un entero par, obtenemos:

[matemáticas] n – m = 2k +1 – 2p = 2 (kp) +1 [/ matemáticas]

lo cual es obviamente extraño, así que hemos terminado.

Answer 4

Podemos expresar el entero impar como [matemática] 2x + 1 [/ matemática] y el par como [matemática] 2y [/ matemática], donde [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son ​​enteros . Entonces, la diferencia es [matemática] 2x + 1-2y = 2 (xy) + 1 [/ matemática]. Como la diferencia no es divisible por 2, es impar.

Alternativamente, podemos usar aritmética modular para probar esto. Deje que el entero impar sea [math] m [/ math] y el entero par [math] n [/ math]. Entonces, [math] m \ equiv 1 \ bmod 2 [/ math] y [math] n \ equiv 0 \ bmod 2 [/ math]. Por lo tanto, [math] (mn) \ equiv (1-0) \ bmod 2 \ equiv 1 \ bmod 2 [/ math]. Como la diferencia es congruente con 1 mod 2, es impar.

Answer 5

Tome un entero par ay un entero impar b.
Puede escribir a como 2x, donde x es un número entero, y b como 2y, donde y no es un número entero (por definición de impar).
Queremos mostrar que 2x-2y es impar.
Proceder por contradicción:
Suponga que 2x-2y es par.
=> 2 (xy) = c, un entero par
=> xy = c / 2, un número entero.
=> y = x + c / 2
=> y es un número entero
=> se ha encontrado una contradicción

Answer 6

Probémoslo por contradicción, es decir, supongamos que la diferencia entre un entero impar y un entero par es par. Suponga un entero impar de la forma 2m + 1, donde m> 0. Ahora tome otro número entero 2n, n> 0. También supongamos que el número entero par es menor que el número entero impar en cuestión. Entonces 2m + 1 – 2n = 2k (por ejemplo). Resolver la ecuación en LHS da:
2 (mn) + 1 = 2k. Ahora el valor en el LHS es claro en la forma 2a + 1, donde a = m – n, entonces LHS es un número impar mientras que RHS es un número par. Entonces nuestra hipótesis original está equivocada. Por lo tanto, se demuestra que la diferencia entre un número impar y un número par siempre es impar.

Answer 7

Puede escribir números impares en forma de 2x + 1 y números pares en forma de 2y.
Una vez que tomas la diferencia entre los dos, el resultado es 2 (xy) +1, que es esencialmente la representación de números impares, independientemente del valor de xy