Cómo demostrar que si [math] n [/ math] es un número entero par, entonces [math] (- 1) ^ n = 1 [/ math] Educación te da un futuro mejor

Para responder esta pregunta correctamente, uno debe tratar los números enteros como un anillo conmutativo distinto de cero, también conocido como un dominio integral. Más específicamente, la misteriosa ley que

[matemáticas] (- 1) (- 1) = 1 [/ matemáticas]

es parte de una ley más general, que establece que si [matemáticas] a, b [/ matemáticas] pertenecen a este dominio integral, entonces [matemáticas] (- a) (- b) = ab [/ matemáticas], donde el signo menos solo define los elementos inversos dentro de este dominio.

Para probar esto debemos considerar primero un par de propiedades de dominios integrales.
Vamos a denotar este dominio con [math] R [/ math] como solemos hacer. Definimos [matemática] R [/ matemática] junto con sus 2 operaciones (suma [matemática] + [/ matemática] y multiplicación [matemática] * [/ matemática]) de la siguiente manera:

Cierre, es decir, para todos [matemáticas] a, b \ en R, a + b \ en R \ text {y} a * b \ en R [/ matemáticas]
Singularidad de elementos, es decir, si [matemáticas] a = a ‘[/ matemáticas] y [matemáticas] b = b’ \ Flecha derecha a + b = a ‘+ b’ [/ matemáticas] y [matemáticas] a * b = a ‘ * b ‘[/ matemáticas]
Ley conmutativa, es decir, [matemática] \ para todo a, b, \ en R, a + b = b + a [/ matemática]
Ley asociativa, es decir, [matemática] \ forall a, b \ en R, \ text {} (a + b) + c = a + (b + c) [/ math],
Ley distributiva, es decir, [math] \ forall a, b, \ in R, \ text {} a * (b + c) = a * b + a * c [/ math].
Ceros, es decir, existe un elemento [matemática] e \ en R [/ matemática], tal que [matemática] \ forall a \ en R, a + e = a [/ matemática], (este es el elemento cero en nuestro caso de los enteros aka [math] a + 0 = a [/ math]).
Identidad, es decir, existe un elemento i tal que [math] \ forall a \ in R, a * i = a [/ math] (este es el elemento de identidad y en el caso de los enteros corresponde a 1)
Y por último, pero no menos importante, para todos los elementos en [matemática] R [/ matemática] la ecuación [matemática] a + x = 0 [/ matemática] tiene una solución que también está en R.

Las reglas de igualdad de lógica general, es decir

[matemáticas] a = a [/ matemáticas],
si [matemática] a = b [/ matemática] entonces [matemática] b = a [/ matemática] y
si [matemática] a = b [/ matemática] y [matemática] b = c [/ matemática] entonces [matemática] a = c [/ matemática]

todos aguantan

Ahora estamos casi listos para abordar esta misteriosa ecuación. Tenga en cuenta que las definiciones anteriores son todas las propiedades de los números enteros que hemos aprendido a amar y asumir como verdaderas desde la escuela secundaria.

Sin embargo, se necesitan algunas cosas más. Resulta que la solución a la ecuación presentada en la octava regla es única para dominios integrales y se denota como [math] -a [/ math].

Pero, ¿por qué las reglas 1-8 implican unicidad? Al probar esto también tenemos una definición del elemento inverso en [math] R [/ math] con respecto a la suma. ¿Cómo lo probamos?

Bueno, según la definición 8, existen soluciones para esta ecuación. Así que supongamos que hay 2 soluciones [matemáticas] x, y \ en R [/ matemáticas], entonces:

[matemáticas] a + y = 0 = a + x [/ matemáticas]

y usando las reglas lógicas 3 y 2 presentadas anteriormente, debe ser que [math] x = y [/ math] y por lo tanto la solución es única.

Por último, debemos probar que [matemáticas] a * 0 = 0 * a = 0 [/ matemáticas] solo usando las reglas anteriores, ya que las necesitaremos para nuestra prueba. La prueba es como sigue:

[matemáticas] a = a \ Rightarrow [/ matemáticas],
[matemáticas] a + 0 = a \ Rightarrow [/ matemáticas]
[matemáticas] a * (a +0) = a * a \ Rightarrow [/ matemáticas]
[matemáticas] a * a + a * 0 = a * (a + 0) = a * a = a * a + 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a * 0 = 0 \ Flecha derecha [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 * a = a * 0 = 0 [/ matemáticas]

Esto concluye la prueba formal, pero algunas cosas se dan por sentado y se dejan al lector para probar, por ejemplo, qué leyes se utilizan para ir de cada paso al siguiente y en el paso 5 usamos el hecho de que si [matemáticas] a + b = a + c [/ math] luego [math] b = c [/ math], lo cual no probamos pero debería ser fácil dadas las definiciones anteriores.

Bien, finalmente estamos listos para abordar el asunto:

Considere la siguiente suma para dos elementos [matemática] a, b [/ matemática] del Dominio Integral [matemática] R [/ matemática]:

[matemáticas] (ab + a (-b)) + (-a) (- b) = [/ matemáticas]
[matemáticas] ab + (a (-b) + (-a) (- b)) [/ matemáticas]

Por asociatividad. Usando la ley distributiva de la definición 5, nuestra definición única de [matemáticas] -a [/ matemáticas] y el hecho de que [matemáticas] a * 0 = 0 [/ matemáticas] el lado izquierdo se puede reducir a:

[matemáticas] a * (b + (-b)) + (-a) (- b) = [/ matemáticas]
[matemáticas] a * 0 + (-a) * (- b) = [/ matemáticas]
[matemáticas] (- a) * (-b) [/ matemáticas]

y el lado derecho para:

[matemáticas] ab + (a + (-a)) (- b) [/ matemáticas]
[matemáticas] a * b + 0 * (- b) [/ matemáticas]
[matemáticas] a * b [/ matemáticas]

Ahora hemos demostrado que [math] a * b = (-a) (- b) [/ math], de los cuales [math] (- 1) (- 1) = 1 [/ math] es solo un subcase con [ matemáticas] a = b = 1 [/ matemáticas]. ¿Qué pasa con [matemáticas] (- 1) ^ n [/ matemáticas], donde [matemáticas] n [/ matemáticas] es un entero par? En pocas palabras, si [math] n [/ math] es par, entonces existe algún número entero [math] k [/ math] tal que [math] n = 2k [/ math]. Entonces reescribes
[matemáticas] (- 1) ^ n = (-1) ^ {2k} = (-1) ^ {2 +… + 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 1) ^ {2} * (- 1) ^ {2} * \ ldots (-1) ^ {2} [/ matemáticas]

donde los 2 ocurren [matemáticas] k [/ matemáticas] veces. Esto entonces se convierte en:

[matemáticas] (- 1) (- 1) * (- 1) (- 1) \ ldots (-1) (- 1) = [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 * 1 * 1 \ ldots 1 = 1 [/ matemáticas]

Gran parte del lenguaje aquí es teórico, pero creo que es necesario para comprender el asunto completa y formalmente, ya que ninguna de las respuestas presentadas aquí demuestra que [matemáticas] (- 1) (- 1) = 1 [/ matemáticas], pero más bien solo asume eso.

Para una visión más simplista sobre el asunto, puede suponer que [math] R [/ math] es nuestra muy familiar [math] \ mathbb {Z} [/ math] y que todas estas proezas son intuitivas. Luego, para cualquier número entero [math] a, b [/ math] en [math] \ mathbb {Z} [/ math] puede comenzar su prueba con las dos sumas consideradas anteriormente.