Un problema general en la teoría de tamices es estimar el número de elementos de un conjunto dado de enteros que están limitados por algunas condiciones de congruencia locales. A eso se le da un conjunto [matemático] A [/ matemático] de enteros, estamos interesados en los elementos cuyas reducciones módulo [matemático] p [/ matemático] no se encuentran en [matemático] \ Omega_p [/ matemático] para todos los primos p . También podemos considerar versiones ponderadas donde, en lugar de contar los elementos, tomamos la suma de alguna función aritmética sobre estos elementos: el conteo corresponde a la función del indicador del conjunto dado.
Si estamos interesados en detectar primos, la elección natural sería [math] \ Omega_p = \ {0 \} [/ math]. Porque [matemáticas] | \ Omega_p | [/ math] son pequeños, este problema se conoce como tamiz pequeño. Supongamos que tenemos un conjunto [math] A [/ math] y queremos encontrar los elementos que no son divisibles por primos [math] p \ en P [/ math] para algún conjunto de primos [math] P [/ math] . Llame a este conjunto [matemática] S (A, P) [/ matemática].
Si conocemos la fracción de elementos no divisibles por [matemáticas] p [/ matemáticas], y si suponemos que todos estos eventos de un primo que divide un elemento aleatorio de A son independientes, esperamos aproximadamente [matemáticas] S (A, P) \ aprox | A | \ prod_ {p \ in P} (1 – w (p) / p) [/ math] donde [math] \ frac {w (p)} {p} [/ math] es la fracción de elementos de [math] A [/ math] divisible por [math] p [/ math] Pero esto resulta ser una mala estimación debido a la gran cantidad de correlaciones de eventos [math] p | a [/ math] y [math] q | a [/ math] aunque cada uno de ellos es pequeño. Por lo tanto, necesitamos llevar a cabo un análisis más cuidadoso de las covarianzas involucradas. Usamos la inclusión y exclusión para escribir [matemáticas] S (A, P) [/ matemáticas] como [matemáticas] \ sum_ {d | P} \ mu (d) | A_d | [/ math] donde [math] A_d [/ math] elementos divisibles por [math] d [/ math], [math] \ mu (d) [/ math] corresponde al signo que aparece en la inclusión-exclusión. Restamos [math] A_p [/ math], sumamos [math] A_ {pq} [/ math] ‘y así sucesivamente.)
Para obtener buenas estimaciones, necesitamos tener suficiente conocimiento sobre [matemáticas] A_d | [/ matemáticas] | y la secuencia [math] \ mu (d) [/ math]. La función de Mobius [matemáticas] \ mu (d) [/ matemáticas] es la función aritmética más importante en la teoría de números primos y tenemos muy poca información sobre esta secuencia. Entonces la teoría del tamiz trata de obtener aproximaciones adecuadas a [math] \ mu (d) [/ math] mediante pesos de tamiz [math] \ lambda_d. [/ Math]
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Si escribimos [matemáticas] | A_d | = g (d) | A | + r (d) [/ math] donde [math] g (d) [/ math] es una función multiplicativa (piense en g (p) como la probabilidad de que p divida un elemento de A) yr (d) es un pequeño término de error, entonces [matemáticas] S (A, P) = | A | \ sum_ {d | P} {\ mu (d) g (d)} + \ sum_ {d | P} {r (d) \ mu (d)}. [/ math] El segundo término tiene [math] 2 ^ {| P |} [/ math] términos correspondientes a los divisores de [math] P [/ math]. Si estimamos trivialmente, obtenemos un límite dependiendo del número de términos. Si eso tiene que ser pequeño, [math] | P | [/ math] tiene que ser pequeño y eso significa que estamos seleccionando solo unos números primos y contando números con un gran número de factores primos.
Por lo tanto, tratamos de obtener mejores estimaciones utilizando pesos [math] \ lambda_d [/ math] de modo que [math] \ sum_ {d | n} \ mu (d) <\ sum_ {d | n} \ lambda_d [/ math] . Algunas opciones naturales serían truncar el número de términos en inclusión y exclusión, es decir, [math] \ lambda_d = \ mu (d) [/ math] para [math] d <D [/ math] y cero de lo contrario, estos corresponden a Tamiz combinatorio de Brun y la mejora es suficiente para algunas aplicaciones. Por ejemplo, esto puede usarse para probar el teorema de Brun de que la suma de recíprocos de primos gemelos converge y un resultado similar a Goldbach llamado teorema de Schnirelmann de que cada par es la suma de al menos 6 primos.
Selberg por su [math] \ Lambda ^ 2 [/ math] tamiz elige los pesos de convolución dados por [math] \ sum_ {d | n} \ lambda_d = ({\ sum_ {d | n} \ rho_d}) ^ 2 [/ math] donde [math] \ rho (d) [/ math] es compatible con [math] d <\ sqrt {D} [/ math] para algunos [math] D [/ math]. Luego optimiza el término principal mediante la elección adecuada de [math] \ rho (d) [/ math]. Es necesario optimizar una determinada forma cuadrática: esto ya refleja la relación con las grandes desigualdades de tamiz y la dualidad.
Hay varios parámetros involucrados, podemos intentar optimizar mediante elecciones según el problema (el conjunto [matemática] A [/ matemática] y la función [matemática] g (d) [/ matemática]. Pero esta mejora ya es lo suficientemente potente para probar el teorema de Brun-Titchmarsh. Este método puede dar [math] 2x / logx [/ math] unido a [math] \ pi (x) [/ math], la función de conteo primo. Esto está desactivado por un factor de 2 el valor real (teorema del número primo) .Pero cualquier elección de pesos no puede superar este límite debido al problema de paridad de los tamices.
Referencias
Opera De Cribo – Friedlander Iwaniec:
Notas sobre tamices – Dimitris Koukoulopoulos