[math] \ epsilon = 1 [/ math] definitivamente funciona.
Para una prueba simple, vea
La respuesta de Conner Davis a ¿En qué punto de la secuencia de números primos los primos ‘superan’ las potencias de dos con la misma ubicación en la secuencia de potencias de dos? *.
[math] \ epsilon = 0 [/ math] obviamente falla porque no todos los números son primos.
Puede que no haya un “más pequeño” como [math] \ epsilon [/ math], pero al menos sabemos que el mínimo del conjunto de todos [math] \ epsilon [/ math] existe y está en [0,1 ]
Afirmo que
[matemática] \ forall _ {\ epsilon> 0} \ exist_N \ forall_ {n> N} p_n <n ^ {1+ \ epsilon} [/ math]
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De manera equivalente, [matemáticas] \ frac {p_n} {n} <n ^ \ epsilon [/ matemáticas]
Prueba:
En el artículo que cito a continuación [1], se muestra que para n> 39017, [matemáticas] p_n \ leq n * (ln (n) + ln (ln (n)) -. 9484) [/ matemáticas].
Por lo tanto, para n suficientemente grande, [matemáticas] \ frac {p_n} {n} \ leq ln (n) + ln (ln (n)) [/ matemáticas]
De hecho, esto es válido para [math] n \ geq 6 [/ math]
Es fácil ver eso
[matemáticas] \ forall _ {\ epsilon> 0} \ exist_N \ forall_ {n> N} n ^ {\ epsilon}> ln (n) + ln (ln (n)) [/ math]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ forall _ {\ epsilon> 0} \ exist_N \ forall_ {n> N} \ frac {p_n} {n} <ln (n) + ln (ln (n)) <n ^ {\ epsilon} [/ matemáticas]
Y finalmente,
[matemática] \ forall _ {\ epsilon> 0} \ exist_N \ forall_ {n> N} p_n <n ^ {1+ \ epsilon} [/ math]
Entonces su respuesta es que cualquier [math] \ epsilon> 0 [/ math] funcionará.
[1] http://www.ams.org/journals/mcom…