Encuadernado con [matemática] n [/ matemática] número primo [matemática] p_n [/ matemática]: ¿Cuál es la [matemática] \ epsilon [/ matemática] más pequeña tal que [matemática] p_n <n ^ {1+ \ epsilon } [/ math] para suficientemente grande [math] n [/ math]?

[math] \ epsilon = 1 [/ math] definitivamente funciona.
Para una prueba simple, vea
La respuesta de Conner Davis a ¿En qué punto de la secuencia de números primos los primos ‘superan’ las potencias de dos con la misma ubicación en la secuencia de potencias de dos? *.

[math] \ epsilon = 0 [/ math] obviamente falla porque no todos los números son primos.

Puede que no haya un “más pequeño” como [math] \ epsilon [/ math], pero al menos sabemos que el mínimo del conjunto de todos [math] \ epsilon [/ math] existe y está en [0,1 ]

Afirmo que
[matemática] \ forall _ {\ epsilon> 0} \ exist_N \ forall_ {n> N} p_n <n ^ {1+ \ epsilon} [/ math]

De manera equivalente, [matemáticas] \ frac {p_n} {n} <n ^ \ epsilon [/ matemáticas]

Prueba:
En el artículo que cito a continuación [1], se muestra que para n> 39017, [matemáticas] p_n \ leq n * (ln (n) + ln (ln (n)) -. 9484) [/ matemáticas].

Por lo tanto, para n suficientemente grande, [matemáticas] \ frac {p_n} {n} \ leq ln (n) + ln (ln (n)) [/ matemáticas]
De hecho, esto es válido para [math] n \ geq 6 [/ math]

Es fácil ver eso
[matemáticas] \ forall _ {\ epsilon> 0} \ exist_N \ forall_ {n> N} n ^ {\ epsilon}> ln (n) + ln (ln (n)) [/ math]

Por lo tanto,
[matemáticas] \ forall _ {\ epsilon> 0} \ exist_N \ forall_ {n> N} \ frac {p_n} {n} <ln (n) + ln (ln (n)) <n ^ {\ epsilon} [/ matemáticas]

Y finalmente,
[matemática] \ forall _ {\ epsilon> 0} \ exist_N \ forall_ {n> N} p_n <n ^ {1+ \ epsilon} [/ math]
Entonces su respuesta es que cualquier [math] \ epsilon> 0 [/ math] funcionará.

[1] http://www.ams.org/journals/mcom…

Tal [math] \ epsilon [/ math] no puede existir. Alternativamente, [math] \ epsilon [/ math] puede hacerse lo más pequeño posible.

Supongamos que existe [math] \ epsilon> 0 [/ math]. Deje [math] d = \ epsilon / 2 [/ math]. La suposición significa que hay infinitos n tales que [math] p_n> n ^ {1 + d} [/ math]. Pero esto significaría que, asintóticamente, el número de primos debajo de n estaría limitado anteriormente por [math] n ^ \ frac {1} {1 + d} [/ math]. Esta cantidad es asintóticamente menor que n / log (n) y, por lo tanto, el supuesto lleva a una contradicción dado el teorema del número primo.

PD: Creo que puede haber algo mal con esta respuesta, un poco poco convincente para mí de alguna manera. Si es así, indíquelo.