¿Cómo encontramos todos los enteros ‘n’ tal que | 2n ^ 3 -6n ^ 2 + 4n – 3 | es primo?

Voy a ampliar la respuesta proporcionada por Kevin Ke.


Por el hecho de que

[matemáticas] p (n) = 2n ^ 3–6n ^ 2 + 4n-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2n ^ 3–2n-6n ^ 2 + 6n-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 (n-1) n (n + 1) -6n (n-1) -3 [/ matemáticas],

está claro que [math] 3 \ mid p (n) [/ math] para cada entero [math] n [/ math].

Por lo tanto, [math] \ big | p (n) \ big | [/ math] es primo si y solo si [math] p (n) = \ pm 3 [/ math].

Si [matemática] p (n) = 3 [/ matemática], entonces [matemática] 2 (n-1) n (n + 1) -6n (n-1) -6 = 0 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] n (n-1) \ big ((n + 1) -3 \ big) = n (n-1) (n-2) = 3. [/ math] Esto es imposible en enteros, ya que [ matemática] n (n-1) (n-2)> 0 [/ matemática] implica [matemática] n> 2 [/ matemática], y luego [matemática] n (n-1) (n-2) \ ge 3 \ cdot 2 \ cdot 1> 3 [/ math].

Si [math] p (n) = – 3 [/ math], entonces [math] 2 (n-1) n (n + 1) -6n (n-1) = 0 [/ math]. Por lo tanto, [math] n (n-1) \ big ((n + 1) -3 \ big) = n (n-1) (n-2) = 0 [/ math], de modo que [math] n = 0 , 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

El conjunto de soluciones es [math] \ {0,1,2 \} [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Factorizar [matemáticas] (2 {n} ^ 3-6 {n} ^ 2 + 4n) [/ matemáticas] y observar que esta factorización es siempre un múltiplo de 3, por lo tanto, todo el término [matemáticas] (2 {n} ^ 3 -6 {n} ^ 2 + 4n-3) [/ matemáticas]
es un múltiplo de 3 y el número primo múltiplo de 3 es solo 3, por lo que igualando obtenemos n = 0,1,2.