¿Por qué no tenemos números primos negativos?

Answer 1

Hacemos.

En un anillo [math] R [/ math] que tiene una identidad multiplicativa [math] 1_R [/ math] (tenga en cuenta que no todos los autores suponen que un anillo tiene uno), un elemento primo [math] p [/ math] es un elemento que satisface las siguientes tres declaraciones:

1. No es igual a la identidad aditiva [matemática] 0_R [/ matemática] de [matemática] R [/ matemática].
2. No existe [matemática] v \ en R [/ matemática] tal que [matemática] pv = 1_R [/ matemática] o [matemática] vp = 1_R [/ matemática].
3. Si [matemática] p [/ matemática] divide [matemática] ab [/ matemática], donde [matemática] a, b \ en R [/ matemática], entonces [matemática] p [/ matemática] divide [matemática] a [ / matemática], o [matemática] p [/ matemática] divide [matemática] b [/ matemática], o [matemática] p [/ matemática] divide tanto [matemática] a [/ matemática] como [matemática] b [/ matemática ]

(Decimos que [matemática] a [/ matemática] divide [matemática] b [/ matemática] en el anillo [matemática] R [/ matemática] si existe [matemática] c \ en R [/ matemática] tal que [matemática ] ac = b [/ matemáticas].)

Si consideramos que el anillo [math] R [/ math] es el conjunto de enteros [math] \ mathbb {Z} [/ math] bajo la suma usual [math] + [/ math] y la multiplicación [math] \ cdot [/ math], entonces los elementos primos de [math] \ mathbb {Z} [/ math] son ​​precisamente esos números que consideramos primos … y sus versiones negativas .

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Algunas personas piensan que los números primos negativos fueron ‘prohibidos’ para que el Teorema de factorización único tenga sentido (de lo contrario, [matemática] 15 [/ matemática] podría factorizarse como, por ejemplo, [matemática] 3 \ veces 5 [/ matemática] o como [math] (- 3) \ times (-5) [/ math], y esto haría que [math] 15 [/ math] pareciera que no es factorizable de manera única). Sin embargo, esto realmente no presenta un problema. Podemos definir dos elementos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] del anillo [matemática] R [/ matemática] para asociar si [matemática] a = ub [/ matemática], donde [ math] u [/ math] es una unidad , un elemento en [math] R [/ math] que satisface [math] uv = vu = 1_R [/ math] para algún elemento [math] v \ in R [/ math] . Dado que [math] 1 [/ math] y [math] -1 [/ math] son ​​las únicas unidades en [math] \ mathbb {Z} [/ math] (check!), Cualquier entero es un asociado solo consigo mismo y con su aditivo inverso. Por lo tanto, podemos establecer el Teorema de factorización único para los enteros como:

Deje que [math] a \ ne 0 [/ math] y [math] a [/ math] no es una unidad. Si [math] a = p_1p_2 \ ldots p_m = q_1q_2 \ ldots q_n [/ math], donde [math] p_i [/ ​​math] ‘s y [math] q_j [/ math]’ s son primos en [math] \ mathbb {Z} [/ math], luego [math] m = n [/ math] y existe una correspondencia uno a uno entre [math] p_i [/ ​​math] ‘s y [math] q_j [/ math ] es tal que los elementos correspondientes son asociados.

De esta manera, podemos dejar felices los números primos negativos allí. Por lo tanto, la razón para que las personas prohíban los números primos negativos es diferente …

Aquí es realmente por qué los primos negativos están ‘prohibidos’. También podríamos pensar en un elemento primo [matemático] p \ en R [/ matemático] como un elemento distinto de cero que genera lo que se llama un ideal primo . Para explicarlo en términos simples, para los enteros, el ideal primo de un número primo sería el conjunto que contiene todos los múltiplos enteros de [math] p [/ math]. Pero tenga en cuenta que los números primos [matemática] 3 [/ matemática] y [matemática] -3 [/ matemática], digamos, ambos generan exactamente el mismo primo ideal [matemática] \ {\ ldots, -9, -6, -3 , 0,3,6,9, \ ldots \} [/ math]. Entonces parece que los primos positivos o los primos negativos son redundantes, ya que cualquiera de ellos puede generar el mismo ideal primo. Debido a esto, los números primos generalmente se toman solo como primos positivos.

Answer 2

Un número primo se define como un número que tiene exactamente dos factores.
por ejemplo: 3, que tiene 1 y 3 como factor
ahora si considera -3, puede obtenerse como 1 * -3 o -1 * 3, es decir, tendrá cuatro factores únicos. Por lo tanto, el número negativo no seguirá el principio del número primo

Answer 3

Si se permitiera que los enteros negativos fueran primos, entonces ya no tendríamos una factorización prima única para cada entero, lo que tenemos debido al Teorema fundamental de la aritmética.
Para ver un ejemplo:
Ahora, según nuestra definición actual de primos, 12 = 2 * 2 * 3 y esta factorización prima es única.
Suponga que -2, -3, … son números primos negativos.
Entonces 12 puede escribirse como: 12 = -2 * -2 * 3 = 2 * -2 * -3 = 2 * 2 * 3 y la ‘factorización prima’ no es única. Sin embargo, la singularidad de la factorización prima es conveniente y la inclusión de enteros negativos en los números primos no ofrece tal conveniencia, sino que la empeora.

Answer 4

Es solo por convención que no pensamos en -2 como un entero primo. De hecho, en el anillo de los enteros, -2 es tan primo como 2.

En un anillo, p es primo si p no es ni un cero ni una unidad y, para cada a y b , si p divide a ab , entonces divide a a o b (posiblemente ambos). En Z , el anillo de enteros (que incluye tanto los números naturales positivos como sus inversos aditivos negativos; esto es, de hecho, necesario para que Z sea ​​un anillo), tanto 2 como -2 cumplen este requisito para ser primos.

Los números naturales no son un anillo porque los números naturales no permiten inversos aditivos (es por eso que tenemos enteros negativos). Debido a esto, la definición de primalidad para los números naturales es diferente, pero esa definición no se puede aplicar a un número negativo porque un número negativo no es un número natural.

No puede llamar a un número negativo un “número natural primo” porque los números negativos no son números naturales. Pero en el anillo de los enteros, ambos -2 y 2 son primos; no hay una manera significativa de definir la primalidad en el anillo de enteros, de modo que 2 sea primo y -2 no lo sea.

Ver ¿Pueden los números negativos ser primos? para mayor discusión sobre este tema. La conclusión final es que, en la mayoría de los contextos, si los números negativos pueden ser primos no tiene importancia fundamental.

Answer 5

Un número primo por definición es una subclase de números naturales. Por lo tanto, los números <1 no pueden clasificarse en números primos de manera objetiva. (Número primo)

En un tono más subjetivo, considerando los números negativos, todos los números como -3, -5, -7, etc. serán divisibles entre 1 y ellos mismos. Pero en este caso, también serán divisibles por el negativo del número mismo (es decir, -3 es divisible por 3 y así sucesivamente). Esto destruye la definición convencional de números primos. Sin embargo, esta es solo mi opinión personal.

Answer 6

Un número primo es un número que es mayor que uno y es divisible por uno y por sí mismo.

Ex. 3/1 = 3 (nombre completo), 3/3 = 1 (nombre completo).

En el caso de números negativos como -3, -5, -7, también se pueden dividir entre 1 y ellos mismos, pero hay una ley (que es mayor que uno)

Nota importante: Cualquiera podría decirme que 3 es un nom principal. puede dividirse por 1 y por sí mismo (y -1 y -3) y da un número entero, por lo que no es un número primo y también lo son todos los números, así que creo que la ley debe ser (Un número primo es un número que es mayor de uno y es divisible por uno y por sí mismo y da un número entero positivo).

Finalmente, le agradezco esta pregunta inteligente, pero en matemáticas tenemos una ley y no deberíamos decir por qué es bla, bla, bla. Estas preguntas son como (¿por qué el cielo es azul?) Como * 0 * y * 1 * también son divisibles por uno y ellos mismos, pero tenemos una ley y debemos seguirla

Espero que entiendas,

Mohamed Yahia

Answer 7

Porque originalmente se habían definido para números enteros. Entonces no había necesidad de divisibilidad por -1.

Sin embargo, si extiendes tu reino a los enteros, entonces tu pregunta es perfectamente válida. En este caso, debe modificar su definición para incluir la posibilidad de división por (-1).

Answer 8

La razón fundamental por la que los enteros negativos no pueden ser primos es porque están fuera del dominio que contiene números primos y números que uno puede crear usando primos (así como 0 y 1 están fuera de este espacio). Los números primos son los bloques de construcción de enteros mayores que 1. No tiene sentido incluir ningún otro número en este dominio, así como tampoco tendría sentido incluir gatos con ladrillos al construir una casa.

Answer 9

Número primo es un número con solo dos factores: – El número en sí mismo y 1, es decir, si consideramos 5 y si lo factorizamos en primos, obtenemos

5 = 5 X 1

Sin embargo, si tomamos cualquier número negativo, digamos -5 y lo factorizamos, obtenemos

-5 = 5 X 1 X -1

Violando así la definición de los números primos.