Una de las cosas más notables sobre la teoría de números es que los problemas que son relativamente simples de enunciar pueden ser tremendamente difíciles de probar. El ejemplo más notable de esto es el último teorema de Fermat (probado por Andrew Wiles en 1995): no hay tres enteros positivos [matemática] a, b, c [/ matemática] satisfacen la ecuación [matemática] a ^ n + b ^ n = c ^ n [/ math] para [math] n> 2 [/ math]. Aquí hay algunos problemas abiertos en la teoría de números:
Conjetura de Goldbach : ¿Se puede expresar cada número par como la suma de dos primos?
Conjetura de Collatz : a partir de cualquier número natural [matemática] n [/ matemática], repita este proceso indefinidamente: si [matemática] n [/ matemática] es par, divídalo entre 2 para obtener [matemática] n / 2 [/ matemática] . Si [math] n [/ math] es impar, multiplíquelo por 3 y agregue 1 para obtener [math] 3n + 1 [/ math]. No importa con qué número comience, ¿siempre terminará con 1?
Conjetura de primos gemelos: ¿hay un número infinito de primos gemelos? Los primos gemelos son números primos que difieren en 2, por ejemplo [matemática] (5,7) [/ matemática] y [matemática] (17,19) [/ matemática].
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Conjetura de Mersenne Prime : ¿Hay un número infinito de primos de Mersenne? Un primo de mersenne es un número primo de la forma [matemática] 2 ^ n-1 [/ matemática], por ejemplo [matemática] 7 = 2 ^ 3 – 1 [/ matemática] y [matemática] 31 = 2 ^ 5 – 1 [/matemáticas]
Existencia de números perfectos impares: ¿Existe algún número perfecto impar? Un número perfecto es un entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios, por ejemplo [matemáticas] 6 = 1 + 2 + 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 [ /matemáticas].
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