Sea [math] f (x) [/ math] un polinomio de grado [math] n [/ math] con coeficientes reales que satisfagan [math] f (x) \ ge 0, \ \ forall x \ in \ mathbb {R }[/matemáticas]. ¿Cómo mostrar [math] f (x) + f ‘(x) + \ ldots + f ^ {(n)} (x) \ ge 0, \ \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math] ?

Defina [math] g (x) = \ sum_ {i = 0} ^ nf ^ {(i)} (x) [/ math] y observe que luego [math] g ‘(x) = \ sum_ {i = 1 } ^ nf ^ {(i)} (x) [/ math]

Entonces, lo que estamos tratando de demostrar es que [math] g (x) = f (x) + g ‘(x) \ geq 0 [/ math] para todos [math] x [/ math].

Primero afirmamos que [math] f [/ math] es de un grado par; Esto es obvio al considerar los límites asintóticos como [math] x \ to- \ infty [/ math]. Por lo tanto, [math] g [/ math] también tiene un grado par. Mediante un análisis similar, observamos que el primer coeficiente de [math] g [/ math] tiene que ser positivo (de hecho, comparte su primer coeficiente con [math] f [/ math]), y así la función se acerca al infinito como [ matemáticas] x \ a \ pm \ infty [/ matemáticas].

De esto deducimos que hay al menos un punto donde [math] g [/ math] alcanza su mínimo absoluto; elija uno y denótelo [matemáticas] b [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que en este mínimo [matemáticas] g ‘(b) = 0 [/ matemáticas].

Luego se deduce que [math] g (x) \ geq g (b) = f (b) + g ‘(b) = f (b) \ geq0 [/ math]

y ya hemos terminado.

Sea [math] g (x) = e ^ {- x} (f (x) + f ‘(x) + \ cdots + f ^ {(n)} (x)) [/ math]. Observe que [matemática] g (x) \ a 0 [/ matemática] como [matemática] x \ a + \ infty [/ matemática], y que [matemática] g [/ matemática] no aumenta porque [matemática] g ‘( x) = -e ^ {- x} f (x) \ le 0 [/ math] para todos [math] x [/ math]. Por lo tanto, debemos tener [math] g (x) \ ge 0 [/ math] para todos [math] x [/ math], y hemos terminado.


O, aún más sucintamente,
[matemáticas] f (x) + f ‘(x) + \ cdots + f ^ {(n)} (x) [/ matemáticas] [matemáticas] = e ^ x \ int_x ^ \ infty e ^ {- t} f (t) \, dt \ ge 0 [/ math].

[matemáticas] g (x) = f (x) + f ^ {(1)} (x) +… + f ^ {(n)} (x) [/ matemáticas].
[matemáticas] g ‘(x) = \ qquad + f ^ {(1)} (x) +… + f ^ {(n)} (x) + f ^ {(n + 1)} (x) [/ matemáticas].

[matemáticas] g ‘(x) -g (x) = f ^ {(n + 1)} (x) -f (x) = 0-f (x) [/ matemáticas].

[matemáticas] \ left (g (x) e ^ {- x} \ right) ‘= -e ^ {- x} f (x) [/ math].

[matemáticas] g (x) = e ^ {- x} \ int_ {x} ^ {\ infty} e ^ {- s} f (s) ds \ geq 0 [/ matemáticas].