¿Cómo se muestra que [matemáticas] (2 ^ a-1) (2 ^ b-1) = 2 ^ {2 ^ c} +1 [/ matemáticas] es imposible en enteros no negativos [matemáticas] a, b, [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas]?

Answer 1

Es posible, pero las únicas soluciones son [matemáticas] (1,2,0), (2,1,0) [/ matemáticas]. Expandiendo la ecuación dada, tenemos
[matemáticas] 2 ^ {a + b} -2 ^ a-2 ^ b = 2 ^ {2 ^ c}. [/ matemáticas]
Mueva algunos de los términos al RHS para obtener la ecuación en la forma
[matemáticas] 2 ^ t = 2 ^ x + 2 ^ y + 2 ^ z. [/ matemáticas]
No es demasiado difícil encontrar las soluciones a esta ecuación en enteros no negativos. Sin pérdida de generalidad, suponga [matemáticas] x \ le y \ le z [/ matemáticas]. Dividiendo a través de [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] produce
[matemáticas] 1 + 2 ^ {yx} + 2 ^ {zx} = 2 ^ {tx} [/ matemáticas]. Las únicas formas en que las paridades de LHS y RHS coincidirán es si los 3 términos restantes son impares, impares e impares; impar, par y par; par, impar y par; o pares, pares e impares, respectivamente. Solo la segunda posibilidad puede funcionar, ya que las otras contradicen [math] x \ le y \ le z <t [/ math]. Por lo tanto, debemos tener
[matemática] 1 + 1 + 2 ^ {zx} = 2 ^ {tx}. [/ matemática] La diferencia de dos potencias de 2 es 2 si son 4 y 2. Juntar toda esta información da
[matemáticas] y = x, z = x + 1, t = x + 2 [/ matemáticas]. Ahora, establecer permutaciones de [matemáticas] (a, b, 2 ^ c, a + b) [/ matemáticas] igual a [matemáticas] (x, x, x + 1, x + 2) [/ matemáticas] muestra que hay Son solo dos soluciones.

Answer 2

Observe que [matemática] c = 0 [/ matemática] implica [matemática] \ {a, b \} = \ {1,2 \} [/ matemática]. De ahora en adelante asumimos [math] c \ ge 1 [/ math].

Sin pérdida de generalidad, suponga [matemáticas] a \ le b [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] a = 0 [/ math] es imposible ya que LHS sería igual a [math] 0 [/ math] mientras que RHS sería positivo. Además, tenga en cuenta que [matemática] a = 1 [/ matemática] implicaría [matemática] 2 ^ b-2 ^ {2 ^ c} = 2 [/ matemática]. Dado que la diferencia de dos poderes de [matemática] 2 [/ matemática] puede diferir en [matemática] 2 [/ matemática] solo cuando los poderes son [matemática] 2 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 2 ^ 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ c \ ge 2 [/ matemáticas], esto también es imposible.

Entonces ahora tenemos [math] 2 \ le a \ le b [/ math]. Así [matemáticas] 2 ^ a-1 \ equiv 3 \ pmod {4} [/ matemáticas]. Esto implica que hay un divisor primo [math] q [/ math] de la forma [math] 4k + 3 [/ math] de [math] 2 ^ a-1 [/ math] (de lo contrario, todos los divisores primos de [math] ] 2 ^ a-1 [/ math] tendría la forma [math] 4k + 1 [/ math], lo que implicaría que su producto es de la misma forma, una contradicción). Por lo tanto, [math] q [/ math] también es un divisor primo de [math] 2 ^ {2 ^ c} +1, [/ math] que es una suma de dos cuadrados. Pero esto es imposible ya que [matemática] q \ mid (m ^ 2 + n ^ 2) [/ matemática] para primos [matemática] q [/ matemática] de la forma [matemática] 4k + 3 [/ matemática] implica [matemática ] q \ mid m [/ math] y [math] q \ mid n [/ math]. (Aquí hay una prueba rápida. Si [math] q \ nmid m [/ math], existiría [math] \ overline {m} [/ math] tal que [math] m \ cdot \ overline {m} \ equiv 1 \ pmod {q} [/ math]. Luego [math] q \ mid {\ overline m} ^ 2 (m ^ 2 + n ^ 2) [/ math], y así [math] q \ mid (1+ r ^ 2) [/ math] para algún número entero [math] r [/ math]. Pero [math] r ^ 2 \ equiv -1 \ pmod {q} [/ math] implica [math] 1 \ equiv r ^ { q-1} = (r ^ 2) ^ {(q-1) / 2} \ equiv (-1) ^ {(q-1) / 2} = – 1 \ pmod {q}, [/ math] desde [math] q = 4k + 3 [/ math]. Esta contradicción implica [math] q \ mid m [/ math], y por lo tanto también [math] q \ mid n [/ math].)

Por lo tanto, no podemos tener solución cuando [math] c \ ge 1 [/ math].