Dados los números reales positivos x e y, demuestre que [matemáticas] \ frac {2} {\ frac {1} {x} + \ frac {1} {y}} \ le \ sqrt {xy} \ le \ frac {x + y} {2} [/ matemáticas]?

Answer 1

Para números reales positivos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]

[matemática] \ sqrt {x} – \ sqrt {y} \ geq 0 [/ matemática] o [matemática] \ sqrt {x} – \ sqrt {y} \ leq 0 [/ matemática]

pero

[matemáticas] (\ sqrt {x} – \ sqrt {y}) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x-2 \ sqrt {xy} + y \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x + y \ geq 2 \ sqrt {xy} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {x + y} {2} \ geq \ sqrt {xy} ……… [i] [/ matemáticas]

---

Si consideramos los recíprocos de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] para la ecuación [i] tenemos

[matemáticas] \ dfrac {\ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y}} {2} \ geq \ sqrt {\ dfrac {1} {xy}} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {2} {\ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y}} \ leq \ sqrt {xy} …… [ii] [/ matemáticas]

Reordenando la ecuación [i] tenemos

[matemáticas] \ sqrt {xy} \ leq \ dfrac {x + y} {2} …………. [iii] [/ matemáticas]

---

Combinando la ecuación [matemáticas] [ii] [/ matemáticas] y [matemáticas] [iii] [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] \ dfrac {2} {\ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {y}} \ leq \ sqrt {xy} \ leq \ dfrac {x + y} {2} [/ matemáticas]

¡Hecho!

Answer 2

Por supuesto, puedes hacerlo algebraicamente, pero eso perderá mucho tiempo. Otra forma de demostrarlo es demostrarlo geométricamente. Dados dos segmentos de línea, longitudes x e y, podemos construir un semicírculo con diámetro x + y. Luego puede construir segmentos de línea de longitudes de las tres expresiones para comenzar.

AM se refiere a la media aritmética de las dos variables, que es [matemáticas] \ frac 12 (x + y) [/ matemáticas], que es el radio del círculo. GM se refiere a la media geométrica, que es [matemática] \ sqrt {xy} [/ matemática]. Puedes usar el teorema de Pitágoras para deducir que la longitud sea así, porque la hipotenusa es el radio del círculo, y la otra pata es [matemáticas] \ frac 12 (xy) [/ matemáticas].

La construcción más inesperada es la media armónica, que es [matemática] \ frac 2 {\ frac 1x + \ frac 1y} [/ matemática]. La construcción hace uso del hecho de que el HM de x e y dividido por GM es igual al GM dividido por AM. Este valor es el coseno del ángulo más pequeño en el triángulo rectángulo.

Esta ingeniosa construcción puede hacernos saber de inmediato las desigualdades porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo debe ser mayor o igual que las patas.