El producto de cuatro términos consecutivos de una progresión aritmética de enteros más el cuarto poder de la diferencia común es siempre un cuadrado perfecto. ¿Cómo se verifica esta identidad incorporando simetría en la notación?

Answer 1

Es muy fácil si asumes los términos correctos.

Considere que la serie original es a a + d a + 2d a + 3d con a & d siendo entero, por lo que si tomamos
a = a’-3d ‘
a + d = a’-d ‘
a + 2d = a ‘+ d’
a + 3d = a ‘+ 3d’

Resolviendo dos de los anteriores,
entonces d ‘= d / 2, a’ = a + 3d / 2

La diferencia común es 2d

Entonces, según la identidad,

(a’-3d ‘) × (a’-d’) × (a ‘+ d’) × (a ‘+ 3d’) + (2d ‘) ^ 4

Es un cuadrado perfecto.

Resolviéndolo

(a’-d ‘) (a’ + d ‘) × (a’-3d’) (a ‘+ 3d’) + 16d ‘^ 4
(a ‘^ 2 – d’ ^ 2) × (a ‘^ 2 – 9d’ ^ 2) + 16d ‘^ 4
a ‘^ 4 – 10 × a’ ^ 2 × d ‘^ 2 + 9d’ ^ 4 + 16d ‘^ 4
a ‘^ 4 – 10 × a’ ^ 2 × d ‘^ 2 + 25d’ ^ 4
(a ‘^ 2 – 5d’ ^ 2) ^ 2

Ahora para obtenerlo en términos de a & d, sustituyendo valores de a ‘= a + 3d / 2 & d’ = d / 2

(a ‘^ 2 – 5d’ ^ 2) ^ 2 = {(a + 3d / 2) ^ 2 – 5 (d / 2) ^ 2} ^ 2
= {a ^ 2 + 9d ^ 2/4 + 3ad – 5d ^ 2/4} ^ 2
= {a ^ 2 + 3ad + d ^ 2} ^ 2

Ahí tienes!

Editar: ediciones realizadas después de las sugerencias de Michal Forišek.