Si [math] a + b + c + d = K [/ math] y existen algunas restricciones para cada una de las cuatro variables, como [math] 0 \ leq a \ leq 8 [/ math], ¿cómo encuentro? todas las soluciones?

Answer 1

Usemos funciones generadoras. Considere expandir el siguiente producto:

[matemática] (1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ 8) [/ matemática] [matemática] (1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ 7) [/ matemática] [matemática] ( 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4) [/ matemática] [matemática] (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3) [/ matemática].

Si tomamos un término [matemático] x ^ a [/ matemático] del primer factor, un término [matemático] x ^ b [/ matemático] del segundo factor, un término [matemático] x ^ c [/ matemático] de el tercer factor, y un término [matemático] x ^ d [/ matemático] del primer factor, entonces el producto de esos términos es [matemático] x ^ {a + b + c + d} = x ^ K [/ matemático ]

Entonces, cada solución aporta un término [matemático] x ^ K [/ matemático]. Por lo tanto, el número de soluciones a [matemáticas] a + b + c + d = K = 6 [/ matemáticas] (con las restricciones) es simplemente el coeficiente [matemáticas] x ^ 6 [/ matemáticas] de ese producto.

Si multiplica ese producto, obtendrá [matemáticas] 1 + 4x + 10x ^ 2 + 20x ^ 3 + 34x ^ 4 + 51x ^ 5 + 70x ^ 6 + [/ matemáticas] poderes mayores de [matemáticas] x [/ matemáticas] (a medida que multiplica los polinomios, puede arrojar poderes de x que son mayores que 6, ya que no serán necesarios).

Por lo tanto, hay [matemáticas] 70 [/ matemáticas] soluciones a [matemáticas] a + b + c + d = K = 6 [/ matemáticas] que satisfacen las restricciones dadas.