Sí, este resultado se deriva de la desigualdad AM-GM .
La desigualdad AM-GM establece que para cualquier n números reales positivos, la media aritmética siempre es mayor o igual que la media geométrica. Entonces, para cualquier [matemática] x_1, x_2, \ ldots, x_n> 0 [/ matemática],
[matemáticas] \ frac {x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} {n} \ ge \ sqrt [n] {x_1x_2 \ cdots x_n} [/ matemáticas]
Al conectar [math] x_i = \ frac {a_i} {b_i} [/ math], vemos que
- Suponga que [math] f {\ left (\ frac {x + y} {2} \ right)} \ le \ frac {f (x) + f (y)} {2} [/ math] para todo [math] x, y \ in \ mathbb R [/ math]. ¿Se puede demostrar que [matemáticas] f {\ left (\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n} \ right)} \ le \ frac {f (x_1) + \ cdots + f (x_n)} {n} [/ matemáticas]? ¿Si es así, cómo?
- Teoría de números: ¿Qué es un módulo?
- Si [math] a + b + c + d = K [/ math] y existen algunas restricciones para cada una de las cuatro variables, como [math] 0 \ leq a \ leq 8 [/ math], ¿cómo encuentro? todas las soluciones?
- Si la conjetura de Goldbach es verdadera, entonces dado un número par [matemática] e [/ matemática], ¿cuál es la complejidad de encontrar números primos [matemática] p_1 [/ matemática] y [matemática] p_2 [/ matemática] tal que [matemática] p_1 + p_2 = e [/ matemáticas]?
- Pruebas (matemáticas): ¿Cómo se puede probar que hay infinitos números primos de la forma 6x – 1?
[matemáticas] \ frac {\ frac {a_1} {b_1} + \ frac {a_2} {b_2} + \ cdots + \ frac {a_n} {b_n}} {n} \ ge \ sqrt [n] {\ frac { a_1} {b_1} \ frac {a_2} {b_2} \ cdots \ frac {a_n} {b_n}} [/ math]
Como [math] b_1, b_2, \ ldots, b_n [/ math] es un reordenamiento de [math] a_1, a_2, \ ldots, a_n [/ math], tienen el mismo producto (es decir, [math] \ prod \ limits_ {i = 1} ^ n a_i = \ prod \ limits_ {i = 1} ^ n b_i [/ math]). Por eso tenemos eso
[matemáticas] \ frac {a_1} {b_1} + \ frac {a_2} {b_2} + \ cdots + \ frac {a_n} {b_n} \ geq n [/ math]