¿Qué es la aritmética modular?

El estudio de las matemáticas que tiene que ver con ciclos de números o restos.

El ejemplo más utilizado de aritmética modular es el reloj (un sistema mod 12).

Con la aritmética modular, puede preguntarse qué hora será después de 67 horas. Esto se escribe como 12 mod 67. Para calcular esto, divide 67 por 12 y el resto es la respuesta. 12 mod 67 es 7

La aritmética modular es aplicable a muchas áreas diferentes. Nuestro sistema de conteo actual es un sistema base 10, pero el uso de otro sistema (como la base 12) implica una aritmética modular. Además, gran parte de la criptografía (descifrado de código) implica aritmética modular.

Y mi parte favorita es que, aunque suena súper inteligente y profesional, el concepto básico es simplemente encontrar el resto.

Intuitivamente: aritmética de la cara del reloj.

Dado un módulo (digamos 12), podemos preformar la aritmética en un grupo cuyos elementos son clases de equivalencia.
Las clases de equivalencia en aritmética modular es un conjunto de enteros cuyo resto es igual cuando se divide por el módulo. Entonces 7 y 19 están en la misma clase de equivalencia módulo 12, ya que ambos dejan el resto 7. (07 y 19 están en el mismo lugar en una esfera del reloj).

El problema con los módulos compuestos (como 12 = 2 * 2 * 3) es que tienen divisores cero, es decir, elementos distintos de cero ayb, de modo que a * b = 0.
En un reloj, a y b pueden ser 4 y 3, por lo que si cuenta 4, 3 veces, vuelve a 0 sin pasar por todos los elementos.
Ahora tener cero divisores causa algunos problemas cuando estás haciendo aritmética, quizás lo más notable:

Las leyes de cancelación fallan, por lo que dado ab = ac ya no podemos concluir b = c.

Los inversos multiplicativos fallan, por lo que para un elemento a, no hay un elemento a ‘de modo que a * a’ = 1.

Entonces, si desea todas las cosas buenas asociadas con un campo finito, asegúrese de que su módulo sea primo.