El grupo picard de [math] \ textrm {Spec} (O_K) [/ math] donde [math] O_K [/ math] es el anillo de enteros de un campo numérico [math] K [/ math] es su grupo de clase ideal , que captura el fracaso de la factorización única. Los grupos Picard parametrizan las clases de isomorfismo de los paquetes de líneas en los espacios. Una forma de construir paquetes de líneas es a través de divisores: pedimos que las funciones racionales prescriban el comportamiento local dado por el divisor, es decir, [math] \ sum n_P P [/ math] denota secciones con polos de orden como máximo [math] n_P [/ matemáticas] en [matemáticas] P [/ matemáticas]. Es fácil ver que dos divisores que difieren en un divisor de función racional (divisor principal) dan conjuntos de líneas isomorfas.
En el caso aritmético, para [math] \ textrm {Spec} (O_K) [/ math], los divisores están dados por los ideles y para la equivalencia debajo de los divisores principales, modificamos los elementos que no son cero del campo. Por lo tanto, los paquetes de líneas están “casi” parametrizados por [math] GL_1 (\ mathbb {A} _K) / GL_1 (K) [/ math], que es el grupo de clase idele de [math] K [/ math]. (Necesitamos tener en cuenta los ideles que dan lugar al mismo divisor, por lo tanto, obtener un cociente de este grupo de clases de ideles que resulta ser el grupo de clases ideal).
El grupo Picard en geometría aritmética se convierte en un objeto muy importante en la teoría de números. El grupo de clase ideal otorga una extensión máxima no ramificada y el grupo de clase idele es casi la parte abeliana del grupo de campo de Galois. Este es el contenido de la teoría de campo de clase. Otras generalizaciones dimensionales y superiores (paquetes G) dan objetos como [math] G (\ mathbb {A} _K) / G (K) [/ math] y estudiar sus representaciones es crucial para comprender el grupo absoluto (a través de sus representaciones en Langlands dual [matemáticas] ^ LG [/ matemáticas].) Esto es lo que intenta hacer el programa Langlands
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