Supongo que pretende que a, b, c, d, e sean enteros positivos. Hay 40 soluciones en enteros positivos: los quíntuples (2,2,2,1,1), (3,3,1,1,1), (5,2,1,1,1) y todas sus permutaciones .
Prueba: supongamos que [math] a \ geq b \ geq c \ geq d \ geq e [/ math]. Todas las soluciones que descubrimos de esta manera se pueden permutar para obtener las soluciones a la pregunta original.
Si los cinco números son iguales, obtenemos la ecuación [matemática] a ^ 5 = 5a [/ matemática] sin solución en enteros positivos. Si no son todos iguales, debemos tener [matemáticas] a + b + c + d + e <5a [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] abcde [/ math] debe ser menor que [math] 5a [/ math], lo que significa que [math] bcde \ leq 4 [/ math].
Esto solo deja cinco posibilidades para (b, c, d, e): (4,1,1,1), (2,2,1,1), (3,1,1,1), (2,1 , 1,1) y (1,1,1,1). Para cada uno de ellos obtenemos una ecuación lineal para [matemáticas] a [/ matemáticas]. Solo tres de las cinco ecuaciones tienen una solución en enteros, y esas tres soluciones nos dan los tres quíntuples mencionados anteriormente.
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