¿Cómo se usa la aritmética modular en criptografía?

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Esto es un poco como preguntar cómo se usan las reglas en la arquitectura. La aritmética modular, de hecho, se usa en criptografía, pero la pregunta es extrañamente mezclar dos niveles diferentes de la jerarquía conceptual. La aritmética modular es un ingrediente fundamental y elemental, como una herramienta básica; La criptografía es un gran esfuerzo, un campo, un dominio del conocimiento.

Uno de los sistemas criptográficos más antiguos y simples es el cifrado César, donde cada letra del alfabeto se desplaza en una cantidad fija. Pero, por supuesto, si empuja cada letra tres pasos hacia adelante (A se convierte en D, B se convierte en E, C se convierte en F), etc., debe decidir qué hacer con las últimas tres letras. Desplazar X, Y o Z tres letras hacia adelante parece sumergirlos en la nada que se encuentra más allá del alfabeto.

Bueno, naturalmente, podemos decidir “envolvernos” fingiendo que el alfabeto está escrito en un círculo, no en una línea recta, y así mapeamos X a A, Y a B y Z a C. Lo que acabamos de hacer, en términos aritméticos, es sumar 3 a la posición de cada letra, pero realizar la operación “+3” módulo 26. Así que hay aritmética modular en uso criptográfico hace unos 2.000 años.

Dos ejemplos en los tiempos modernos:

• La operación fundamental de combinar una secuencia de claves con una secuencia de bits simple en el nivel binario es unirlos XOR. Esto es lo mismo que el módulo de adición 2.
• La criptografía de clave pública moderna tiene muchos protocolos aritméticos modulares. RSA, por ejemplo, llama repetidamente a elevar números a exponentes y a otros varios números.

Ciertamente, hay algunos protocolos criptográficos que no hacen uso de la aritmética modular, pero diría que son la excepción.