¿Cuál es el significado del teorema fundamental de la aritmética?

Answer 1

A2A. Formalmente, el teorema fundamental de la aritmética (también conocido como el teorema de factorización único) establece que cada entero mayor que 1 es primo en sí mismo o es el producto de números primos que es único hasta el orden de multiplicación.

En muchos campos de las matemáticas, en particular los que involucran álgebra, existe un gran interés en la noción de irreductibilidad . Por ejemplo, en geometría algebraica, siempre deseamos trabajar con curvas irreducibles o variedades irreducibles. En nuestro caso, el teorema fundamental de la aritmética cae dentro del campo de la teoría de números (el estudio de los números enteros positivos).

Cuando observamos la irreductibilidad, nos preocupa la “construcción” del objeto que consiste en elementos más pequeños. En nuestro caso, hacemos la siguiente pregunta:

“Dado un número entero mayor que 1, ¿puede descomponerse en el producto de elementos que no pueden descomponerse más? ”

• Si la respuesta a esta pregunta es “Sí”, entonces preguntamos: “¿Cuál es la descomposición en el producto de elementos” más pequeños “? La gran parte de este teorema es que una vez que conocemos la descomposición en un producto de primos, sabemos que es la única forma de descomponer el número … donde el orden de multiplicación no importa debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación sobre [matemáticas] \ mathbb {Z} [/ math].
• Si la respuesta a la pregunta es “No”, entonces sabemos que el número entero es primo y que está clasificado como uno de los “bloques de construcción” de otros números.

Una buena forma de ver números primos es los “bloques de construcción de los enteros”. El estudio de los componentes básicos de cualquier conjunto de elementos es importante, ya que puede deducir una gran cantidad de información observando los elementos que construyen otros elementos.

Por ejemplo, en los rudimentos de la química y la biología, nos enseñaron que los átomos son los componentes básicos de la materia. Cuando estudiamos más a fondo la construcción de un átomo, sabemos de protones, neutrones y electrones. Conocer esta construcción nos permite encontrar información sobre los átomos en sí mismos, así como sobre cómo se unen e interactúan para construir más materia. En nuestro caso, los átomos son primos. Por lo tanto, conocer la descomposición de los números primos (átomos) nos permite deducir información sobre el número (materia) que crea.

Answer 2

Una cosa interesante a tener en cuenta es que es la razón, que la función Riemann [matemáticas] \ zeta [/ matemáticas] está relacionada con los números primos. Dejar
[math] \ prod_p [/ math] denota el producto sobre todos los números primos, luego para [math] s [/ math] con parte real [math]> 1 [/ math]:
[matemáticas] \ prod_p \ frac {1} {1- \ frac {1} {p ^ s}} = [/ matemáticas]
[math] \ prod_p \ left (1+ \ frac {1} {p ^ s} + \ frac {1} {p ^ {2s}} + \ ldots \ right) [/ math] usando la serie geométrica. Queremos calcular este producto ahora, para obtener una suma. Para hacer esto, recopilamos un término de cada serie geométrica para cada número primo. En caso de que elijamos infinitos términos que no son [matemática] 1 [/ matemática] obtenemos algún término que será [matemática] 0 [/ matemática] como por ejemplo [matemática] \ prod_p \ frac {1} {p} = 0 [/ matemáticas]. Entonces, solo los productos que tienen muchos términos [math] \ neq 1 [/ math] pueden contribuir.
Tomemos un número natural, digamos [matemáticas] 24 = 3 \ cdot 2 ^ 3 [/ matemáticas]. Observe que, como la factorización prima es única, obtenemos exactamente un término en la suma que es [matemáticas] \ frac {1} {24 ^ s} = \ frac {1} {2 ^ {3s}} \ cdot \ frac { 1} {3 ^ s} \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdots [/ math]. Obviamente, esto es válido para cada número natural, por lo que podemos escribir:
[matemáticas] \ prod_p \ left (1+ \ frac {1} {p ^ s} + \ frac {1} {p ^ {2s}} + \ ldots \ right) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} = \ zeta (s) [/ math].
En otras palabras [math] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {a (n)} {n ^ s} [/ math], donde [math] a (n) [/ math] denota la cantidad de formas de escribir [math] n [/ math] como producto de primos. Así que escribir [matemáticas] \ zeta (s) = \ prod_p \ frac {1} {1-p ^ {- s}} [/ matemáticas] no es más que una formulación analítica equivalente del teorema fundamental de la aritmética.

Answer 3

Te dice la estructura multiplicativa de los enteros positivos. Por un lado, necesita un número (innumerable) infinito de elementos básicos (primos); Por otro lado, es simplemente una suma directa con una copia de los enteros no negativos para cada primo, lo que le permite lidiar con cada factor de potencia prima de un entero por separado.

De alguna manera esto es un poco sorprendente. La estructura aditiva de los enteros solo necesita un generador si permite la inversa aditiva, o solo dos si usa la suma pero no la inversa aditiva. ¡Sin embargo, estamos encontrando un número infinito de ellos en la estructura multiplicativa del mismo conjunto!

La “aritmética” se entiende mejor aquí como teoría de números.

Answer 4

Es el teorema que establece que los números primos son los componentes básicos de los números. que puedes usar para probar muchas cosas interesantes, como el pequeño teorema de fermata

Answer 5

¡Um, es FUNDAMENTAL!

Pero en serio, es realmente importante.

Answer 6

Es una de las pruebas del caso especial de cálculo lambda de la tesis de transformación de la iglesia.