Supongamos que el haz oscila naturalmente a la frecuencia [math] \ omega_0 [/ math]. Llamaremos al desplazamiento del final del haz [math] x [/ math].
Entonces tiene una energía cinética.
[matemáticas] T = \ frac {1} {2} m_b \ dot {x} ^ 2 [/ matemáticas]
y una energía potencial
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[matemáticas] U = \ frac {1} {2} kx ^ 2 [/ matemáticas]
donde [math] m_b [/ math] es una masa efectiva de la viga que está en el orden de la masa de la viga, dividida por un pequeño número que depende de la solución mecánica de continuidad exacta, pero probablemente sea aproximadamente un tercio (que es el número para un palo recto pivotado en un extremo). [math] k [/ math] representa una constante de resorte efectiva que podría derivarse de una relación tensión-deformación más complicada. Están relacionados por
[matemáticas] \ omega_0 = \ sqrt {k / m} [/ matemáticas]
Si ponemos una masa en el extremo de la viga, estas cosas se modifican a
[matemáticas] T = \ frac {1} {2} (m_b + m) \ dot {x} ^ 2 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] U = \ frac {1} {2} (k + mg / l) x ^ 2 [/ matemáticas]
donde [math] l [/ math] es una longitud característica, probablemente muy cercana a la longitud real de la viga.
Entonces la nueva frecuencia es
[matemáticas] \ omega = \ sqrt {\ frac {k + mg / l} {m_b + m}} [/ matemáticas]
factorizar [matemáticas] \ omega_0 [/ matemáticas] da
[matemáticas] \ omega = \ omega_0 \ left (\ frac {1 + \ frac {mg} {lk}} {1 + \ frac {m} {m_b}} \ right) ^ {1/2} [/ math]
Si la masa agregada es pequeña, entonces al primer orden en [matemática] m [/ matemática] esto es
[matemáticas] \ Delta \ omega = \ frac {m \ omega_0} {2k} (\ omega_p ^ 2 – \ omega_0 ^ 2) [/ matemáticas]
donde [math] \ omega_p [/ math] es la frecuencia del péndulo y [math] \ Delta \ omega \ equiv \ omega – \ omega_0 [/ math]
Para haces más realistas, [math] \ omega_p \ ll \ omega_0 [/ math] (uno es un diapasón, el otro es un swing), por lo que la gravedad es de muy poca importancia en comparación con la masa añadida. Esto se simplifica a
[matemáticas] \ frac {\ Delta \ omega} {\ omega_0} = – \ frac {m} {2 m_b} [/ matemáticas]
que es justo lo que sucede cuando haces algo más pesado.
Puedo agregar más detalles más adelante si hay algo específico …