Si una partícula comienza desde el reposo con potencia constante, ¿es proporcional a t la razón de su velocidad y posición?

Answer 1

[matemáticas] \ en caja {P = Fv} [/ matemáticas]

dónde,

[matemáticas] P [/ matemáticas] = Potencia = Constante

[matemática] F [/ matemática] = Fuerza = Masa [matemática] (m) [/ matemática] [matemática] \ veces [/ matemática] Aceleración [matemática] (a) [/ matemática]

[matemáticas] v [/ matemáticas] = Velocidad

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Ahora,

[matemáticas] P = mav \ quad … (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica P = m \ dfrac {dv} {dt} v \ quad [a = \ dfrac {dv} {dt} \, \, \, [/ matemáticas] donde, [matemáticas] t [/ matemáticas] = tiempo [matemáticas]] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {Pdt} {m} = vdv [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Integrando ambos lados: –

[matemáticas] \ dfrac {P} {m} \ displaystyle \ int_0 ^ t dt = \ displaystyle \ int_0 ^ vv \, dv [/ math]

[matemáticas] \ implica \ boxed {v ^ 2 = \ dfrac {2Pt} {m}} \ quad … (2) [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Ahora podemos escribir [matemáticas] (1) [/ matemáticas] también como: –

[matemática] P = m \ dfrac {vdv} {dx} v \ quad [a = \ dfrac {vdv} {dx} \, \, \, [/ math] donde, [math] x [/ math] = posición [matemáticas]] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {Pdx} {m} = v ^ 2dv [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Integrando ambos lados asumiendo que la partícula estaba en origen cuando estaba en reposo : –

[matemáticas] \ implica \ dfrac {P} {m} \ displaystyle \ int_0 ^ x dx = \ displaystyle \ int_0 ^ vv ^ 2 \, dv [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {v} {x} = \ dfrac {3P} {mv ^ 2} [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Al poner [math] v ^ 2 [/ math] obtenido de [math] (2) [/ math] en lo anterior obtenemos: –

[matemática] \ implica \ en caja {\ dfrac {v} {x} = \ dfrac {3} {2t}} [/ matemática]

Entonces, podemos ver que la razón de velocidad a su posición es inversamente proporcional al tiempo :

[math] \ implica \ boxed {\ dfrac {v} {x} \ propto t ^ {- 1}} [/ math]