¿Cómo el mal uso de las calculadoras impide la educación matemática?

Answer 1

Me gusta comparar una calculadora en matemáticas con un traductor automático cuando estoy aprendiendo un idioma extranjero.

Los traductores automáticos lo llevan a la traducción rápida y fácilmente, pero hay tres problemas principales:

Eres completamente dependiente del traductor.
El traductor no siempre comprende las sutilezas de la traducción y, a veces, dará un resultado incorrecto.
Y … bueno … NUNCA APRENDES EL IDIOMA.

No puedes hablarlo y, a menos que realmente tengas que hacerlo, nunca lo usarás.

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Una calculadora es una herramienta invaluable en el aula de matemáticas, pero una que puede sabotear fácilmente el aprendizaje si se usa incorrectamente.

Las calculadoras eliminan rápidamente la motivación detrás de los conceptos matemáticos y la intuición de los estudiantes de matemáticas.

Usaré el tema de los logaritmos como ejemplo. Creo que se entiende bastante bien que “en el mundo real” nadie calcula logaritmos sin una calculadora. (Excepto por ese tipo de regla de cálculo de resistencia). Entonces, ¿por qué molestarse en aprender a calcularlos a mano?

Bueno, para empezar, ¿cuándo usarías un logaritmo?

* grillos *

Si no comprende para qué se utiliza un logaritmo y cómo se calcula, nunca lo usará . Ese será uno de los muchos botones que no se usan en su calculadora porque nunca supo por qué.

Una vez que te das cuenta de que los logaritmos “deshacen” la exponenciación y convierten la multiplicación en una suma, el logaritmo adquiere significado, y no solo puedes resolver expresiones logarítmicas, sino más importante: ¡puedes escribirlas!

Me gusta llevar a mis estudiantes de matemáticas a http://www.wolframalpha.com y mostrarles hasta dónde han llegado las calculadoras. Les digo: “¡Oye! Esto puede resolver cualquiera de las ecuaciones que vamos a aprender en esta clase. Entonces, ¿por qué nos molestamos en aprender toda esta basura?” Me dan un aspecto como “Me gana”.

Luego les doy un problema verbal y les pido que lo pongan en Wolfram Alpha. Descubren que la computadora más inteligente tiene enormes dificultades con los problemas de palabras. Depende de ellos traducir su problema al lenguaje matemático, calcular y traducir su respuesta nuevamente al lenguaje cotidiano. Esta traducción requiere que sepan qué sucede con sus cálculos, no solo “la respuesta”.

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Finalmente, quiero pasar un poco de tiempo hablando sobre cómo se ve una buena calculadora en el aula.

Las calculadoras hacen dos cosas muy bien. El primero es establecer patrones que son difíciles de ver sin ellos. No solo pueden destruir la intuición, sino que las calculadoras pueden usarse para construir la intuición.

Por ejemplo: les di a mis alumnos una hoja de trabajo con una larga lista de exponenciales con exponentes de fracción. Su primer trabajo fue simplemente ponerlos en la calculadora. Su siguiente trabajo fue encontrar el patrón y responder algunos problemas similares sin la calculadora. Al final de la tarea, casi todos los estudiantes podían decirme cuál era el patrón.

Esto todavía no respondía * por qué * los exponentes de fracción se comportan de la manera en que lo hacen, pero estableció una comprensión rudimentaria sobre la cual se podría construir. Y lo más importante, construyeron esa comprensión por su cuenta.

El segundo buen uso de las calculadoras en el aula es permitir a los estudiantes centrarse en la resolución de problemas en lugar de la aritmética. También les permite trabajar en datos reales que no es práctico hacer a mano.

Esto está bien documentado en una tonelada de estudios educativos. Los estudiantes resuelven mejor los problemas cuando tienen calculadoras disponibles. No importa si los cálculos fueron realmente fáciles o no. El solo hecho de saber que podían recurrir a la calculadora les permitió a los estudiantes concentrarse en resolver el problema en lugar de “hacer los cálculos”. Utilizo citas aquí porque la verdadera matemática es la resolución de problemas, no la aritmética.

¿Te imaginas hacer constantemente problemas de regresión en las estadísticas sin una calculadora? ¿Tener que resolver 8 cuadráticos para hacer un solo problema? Todos estos son factibles, pero en el proceso pierdes el foco en la aplicación.

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En resumen, enseñarle a un niño los cálculos con una calculadora primero es como enseñarle a un niño a conducir antes de enseñarle a caminar.

Obviamente, conducir es importante, pero también lo es caminar. Si tiene que subirse a un automóvil cada vez que quiera avanzar 5 pies, seamos sinceros, no lo hará. Al igual que no te sentarás allí con un traductor automático para comunicarte con alguien en otro idioma. Podrías, pero no lo harás.

Las personas que no entienden los cálculos eligen no hacerlos.

Answer 2

No estoy seguro de lo que el interrogador entiende por “mal uso” de las calculadoras. Supongo que podrían estar implicando que cualquier uso de calculadoras que impida la educación matemática se definiría como “mal uso”.

Según esta definición, creo que usar calculadoras para resolver ecuaciones simbólicamente (en lugar de numéricamente) o producir gráficos y curvas de expresiones matemáticas podría ser indeseable, si el objetivo educativo es que el estudiante aprenda a resolver ecuaciones o dibujar curvas por sí mismo. No hace falta decir que estas son habilidades esenciales para cualquiera que desee lograr una buena comprensión y dominio de las matemáticas, por lo que externalizarlas a una calculadora será contraproducente y podría considerarse perezoso e incluso deshonesto.

Pero no tengo ningún problema con los estudiantes que usan calculadoras para el cálculo básico de números en cálculos que probablemente resulten demasiado tediosos, difíciles (por ejemplo, funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas) o repetitivos (por ejemplo, cálculos iterativos / recursivos) para hacer ‘por mano ‘, o donde se requiere extrema precisión. Sin embargo, deben evitar la tentación de buscar su calculadora cada vez que solo necesitan sumar, restar, multiplicar o dividir algunos números de tamaño modesto, y al menos deben intentar adquirir competencia básica en aritmética. Por un lado, acelerará sus cálculos simbólicos cuando intervienen factores numéricos y les permitirá mantener el “flujo” del pensamiento matemático sin tener que interrumpirlo mientras se refieren a su calculadora. Otro beneficio es que aprender a hacer aritmética básica (especialmente aritmética mental sin escribir ningún paso intermedio) es un buen ejercicio para el cerebro. Finalmente, hay muchos trucos y técnicas que se pueden aplicar para acelerar el cálculo manual o mental, y no solo pueden ser divertidos de aprender y usar, sino que también pueden revelar algunas propiedades matemáticas más profundas de los números y aumentar la apreciación del estudiante por estas cosas. . [1]

Pero por favor no piense que necesita ser bueno en aritmética para ser bueno en matemáticas, porque no lo hace. ¡Y ciertamente no permita que la creencia de que ‘no es bueno con los números’ le impida aprender matemáticas, porque eso sería una tragedia! La idea de que todos los matemáticos profesionales tienen habilidades prodigiosas y sabias en aritmética es simplemente un concepto erróneo popular, como lo es la creencia de que las matemáticas tienen que ver con los números, porque no lo son (de hecho, hay algunas áreas de las matemáticas donde los números per se rara vez se usan explícitamente, si es que lo hacen). Algunos matemáticos son excepcionales en aritmética mental, es cierto (especialmente si trabajan en teoría de números; algunos teóricos de números tienen una obsesión nerd con los números que, en mi opinión, raya en lo patológico). Y antes de la era de las computadoras y las calculadoras, cuando todos los cálculos numéricos debían realizarse laboriosamente a mano, obviamente era una ventaja ser bastante bueno en aritmética. Pero, de hecho, muchos matemáticos de hoy en día solo tienen habilidades promedio en aritmética, y probablemente podrían ser superados por un comerciante de puestos de mercado, un camarero o un barman (bueno, tal vez en los viejos tiempos antes de que la mayoría de los minoristas instalaran cajas de efectivo modernas). Pero se contentan con no ser prodigios aritméticos, porque consideran que la computación numérica es solo una parte incidental de su trabajo, y quizás la parte menos interesante e importante de la misma.

Hablando de mi propia experiencia con las calculadoras, hasta mis primeros años de adolescencia no me interesaban las matemáticas y no era particularmente bueno en eso (mis padres y maestros me tacharon de “ artístico ” porque era musical y sobresalía en el arte y escritura creativa). Y odiaba positivamente hacer aritmética (y tener que buscar valores en tablas de logaritmos y funciones trigonométricas, ¿recuerdas esas?). Luego, aproximadamente al mismo tiempo que me interesé en la electrónica y luego en la física, aparecieron en el mercado las primeras calculadoras de bolsillo asequibles (esto fue a principios de los 70), y obtuve una de estas calculadoras Commodore (este modelo exacto) [2] :

¡y de repente me fascinaron los números y los cálculos numéricos! Y una vez que se eliminó el tedioso trabajo pesado de hacer aritmética y usar tablas de registro y trigonométricas, comencé a disfrutar las matemáticas. Esto me animó a comenzar a aprender matemáticas por mi cuenta, en mi tiempo libre. Y en poco tiempo, había desarrollado un amor por las matemáticas que se convertiría en una pasión de toda la vida y mi pasatiempo intelectual favorito. También me llevó a la universidad y luego a la universidad para estudiar matemáticas y física teórica, en gran parte sobre la base de mi propio autoestudio, porque abandoné la escuela a los 16 años sin una calificación de secundaria en matemáticas. [3] Y si no hubiera sido por mi pequeña calculadora Commodore, nada de eso podría haber sucedido. ¡Demasiado para las calculadoras como un impedimento para mi educación matemática!

[1] Por ejemplo, toma este truco: si quieres cuadrar cualquier número que termine en 5, simplemente ignora el 5 al final del número y multiplica el número restante, N, por N + 1, luego pega 25 en el final de la misma, es decir (N5) ^ 2 = (N x N + 1) 25. Con esta regla, a menudo puede calcular los cuadrados de, digamos, números de 3 dígitos que terminan en 5 más rápido que alguien que usa una calculadora. Y descubrir por qué esta regla siempre funciona te enseñará algo sobre una propiedad especial del número 5, y por qué esta regla solo funciona para los números que terminan en 5.

[2] Hubo una especie de carrera armamentista entre los estudiantes de la escuela en la década de 1970 con respecto a las calculadoras de bolsillo, de la misma manera que ahora ocurre con los teléfonos móviles. Todos querían tener una calculadora que fuera más elegante, llamativa, que tuviera más botones y que pudiera hacer más cosas que las calculadoras que tenían sus amigos, y nuevos modelos mejores salieron con una rapidez impresionante (de nuevo, como ahora con los teléfonos móviles), así que hubo Una presión constante para actualizar . Más tarde me actualicé a uno de estos:

Una vez que llegué a la universidad, obtuve una calculadora Casio más compacta que tenía aún más funciones. Muchos años después, obtuve una de las calculadoras gráficas modernas, y todavía la tengo, aunque casi nunca la he usado. Solo creo que es una tecnología genial. Prefiero dibujar mis gráficos a mano, porque para mí parte de la diversión de las matemáticas es el elemento ‘práctico’. Y si alguna vez realmente necesito visualizar curvas o superficies que no me molestan en dibujar a mano, generalmente usaré una hoja de cálculo o una de las muchas aplicaciones en línea gratuitas, como Geogebra (geogebra.com), que es excelente . También tengo MathType para la composición matemática, pero apenas lo uso desde que aprendí LaTeX. He considerado comprar Mathematica (Wolfram Mathematica), que es el paquete matemático más completo y de mayor calidad para ‘matemáticos profesionales’, pero es bastante costoso y descubro que puedo sobrevivir solo con mi propio cerebro y un bloc de notas para La mayoría de las cosas que hago. Y creo que una dependencia excesiva en los paquetes de software matemático como Mathematica es probablemente un impedimento mucho mayor para la educación matemática de lo que podría ser una calculadora de bolsillo humilde, especialmente porque alientan a los estudiantes a ser flojos al subcontratar cálculos simbólicos al software.

[3] Esto se debió en parte al trauma y la interrupción de quedar huérfano a los 15 años, y en parte a que estaba intelectualmente dotado en una época en la que el sistema escolar británico no estaba diseñado para satisfacer las necesidades de personas como yo (y estoy no estoy seguro de que las cosas hayan cambiado tanto, francamente), y estaba aburrido y frustrado con las lecciones y también socialmente aislado de la mayoría de mis compañeros menos inteligentes. Su apodo para mí, ‘Profesor’, no fue un cumplido, sino una burla.

Answer 3

Los estudiantes no comprenden los conceptos básicos fundamentales de las matemáticas cuando usan una calculadora. Nunca recomendaría el uso de una calculadora a ningún alumno que no esté en clases que requieran el análisis de gráficos (álgebra, geometría, cálculo, etc.), y no recomendaría el uso de una calculadora en varios escenarios, incluso en aquellos clases En las clases básicas de matemáticas donde se les enseña a los estudiantes división y multiplicación, el uso de una calculadora puede convertirse fácilmente en un medio para resolver el problema, en lugar de comprender las operaciones que realmente se están llevando a cabo. En realidad, ni siquiera se nos permitía tenerlos en clases de matemáticas hasta el 11 ° grado, donde fui a la escuela, y si no podíamos mostrar cómo llegamos a una respuesta para un problema, no recibimos crédito.

Tampoco se requiere en muchos problemas en las clases de educación superior. Digamos que queremos analizar la gráfica de [matemáticas] f (x) = 2x ^ {3} – 3x ^ {2} – 12x + 1 [/ matemáticas]

Esto se puede hacer fácilmente sin el uso de una calculadora gráfica.

Puede tomar la derivada de la función: [matemáticas] f ‘(x) = 6x ^ {2} – 6x – 12 = 6 (x-2) (x + 1) [/ matemáticas]

Al establecer la derivada en 0 , se pueden encontrar puntos críticos.

[matemática] f ‘(x) = 0 [/ matemática] en [matemática] x = 2 [/ matemática] y [matemática] x = 1 [/ matemática]

Al configurar un intervalo basado en los puntos críticos, puede determinar cuándo el gráfico aumenta y disminuye al localizar cuándo la derivada cambia de negativa a positiva, y viceversa.

La derivada cambia de positivo a negativo en [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] y de negativo a positivo en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]; por lo tanto, puede concluir que hay un mínimo local en [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] y un máximo local en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

Puede aplicar la misma metodología para determinar la concavidad de la gráfica calculando la segunda derivada de la función y aplicando la misma prueba: [matemática] f ” (x) = 12x – 6 [/ matemática]

[matemáticas] f ” (x) = 0 [/ matemáticas] en [matemáticas] x = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el gráfico es cóncavo cuando [matemáticas] x> \ dfrac {1} {2}
[/ math], cóncava hacia abajo cuando [math] x <\ dfrac {1} {2} [/ math], y hay un punto de inflexión en [math] x = \ dfrac {1} {2} [/ math] .

Así es como se ve el gráfico.

Todo eso se determinó sin una calculadora.

Al enseñar a los estudiantes cómo hacer cosas en una calculadora, no están aprendiendo matemáticas. Es bueno tener una calculadora cuando verifica sus respuestas, pero cuando realmente resuelve el problema, se debe enseñar al alumno cómo resolver el problema, en lugar de escribirlo en una calculadora y resolverlo. Dicho esto, también es importante aprender a usar una calculadora, porque hay algunos problemas que simplemente no pueden resolverse manualmente (aunque este tipo de problemas no están presentes en las clases básicas de matemáticas).

Cuando tomé estadísticas, mi profesor le contó a la clase sobre su clase de estadística cuando era estudiante universitario. Los estudiantes realmente tuvieron que calcular los problemas a mano .

Answer 4

Si existe el peligro de introducir calculadoras en la educación matemática demasiado pronto y de manera incorrecta, creo que es posible que los estudiantes jóvenes confíen en las calculadoras para hacer (relativamente) simples operaciones aritméticas que deberían ser capaces de hacer mentalmente.

Tome un cálculo simple como 37 x 15. Si tengo que ir a la imprenta y pedir 37 artículos a $ 15 cada uno, es útil para mí poder ver muy rápidamente que, a $ 555, el pedido va a terminar. mi presupuesto de $ 550 (figura). Puedo obtener esa cifra casi al instante ya que sé que 40 x 15 = 600, 3 x 15 = 45 y 600 – 45 = 555. Este puede ser un ejemplo tonto, pero el punto es que aprendí a pensar en la multiplicación de esta manera. para que, como estudiante de cuarto grado, pudiera terminar mis hojas de trabajo y exámenes antes que los demás y luego sentarme y relajarme. Este tipo de instalación básica con cifras se puede perder cuando los niños encienden la calculadora cada vez que se requiere un poco de grasa mental en el codo.

Siento lo mismo sobre el corrector ortográfico y gramatical en los programas informáticos con respecto a las artes del lenguaje.

Una vez que los estudiantes han progresado en geometría y están aprendiendo a usar funciones trigonométricas, o están lidiando regularmente con logaritmos y cosas así en álgebra avanzada, entonces la calculadora definitivamente tiene un lugar en el escritorio.

(¡ Gracias por el A2A! )

Answer 5

Matemáticas es entender el principio de [matemáticas] p \ implica q [/ matemáticas]. Se trata de aplicar un sentido estético para encontrar amplias implicaciones de los principios básicos. Esto implica encontrar relaciones veraces que sean lógicamente consistentes, pero que influyan en muchas verdades.

La sociedad tiende a usar la tecnología como una muleta, en lugar de una palanca. Durante muchos años escuché a académicos decir: “En el futuro, no tendremos que aprender matemáticas, porque tendremos máquinas que lo harán por nosotros”. Esta noción se basa en una premisa falsa, de que la única razón por la que los humanos tenían que preocuparse por las matemáticas es que no teníamos máquinas para hacerlo por nosotros. ¿Cómo puede una máquina producir una respuesta útil si las personas que la usan no saben cómo formular qué pedirle que resuelva o no entienden por qué deberían molestarse?

Recuerdo una conversación que tuve con un profesor de ingeniería hace 6 años, de la Universidad de Duke. Ella me estaba contando sobre los cursos de matemáticas en las escuelas secundarias que visitó. Ella dijo que todos los estudiantes en la clase debían comprar un modelo específico de calculadora de Texas Instruments, porque la instrucción en la clase involucraba al maestro que les mostraba a los estudiantes, en pasos específicos, cómo resolver problemas matemáticos con él. Los “pasos específicos” a los que me refiero en realidad implican presionar teclas específicas en la calculadora, no paso a paso al pasar de una expresión matemática a la siguiente. Ella dijo que, por ejemplo, cuando la maestra les estaba diciendo a los estudiantes que invirtieran una matriz, les mostró cómo ingresar la matriz en la calculadora y luego les dijo que presionasen el botón “Invertir”. Esa fue toda la lección. El profesor no explicó qué significaba invertir una matriz o por qué lo harían. Esto fue TAN lo contrario de cómo me enseñaron matemáticas en la escuela secundaria, me quedé estupefacto. Mis profesores de matemáticas eran escépticos de permitir que las calculadoras en clase. Sabían que si pudiéramos presionar algunos botones para resolver problemas, sin comprender lo que realmente estábamos haciendo, no aprenderíamos nada sobre las matemáticas. Hace solo seis años, ¡lo que temían era la norma ! Le dije al profesor de ingeniería: “Eso no es enseñar matemáticas. ¡Eso es enseñar a usar una calculadora!” Me aseguré de que no se equivocara, que esto no era solo una lección complementaria al curso de matemáticas. ¡No, ella dijo que era el supuesto curso de “matemáticas”! Escuchar esto me dio visiones de incompetentes dirigiendo las escuelas. Sería como escuchar que los cursos de inglés ahora son cursos de procesamiento de palabras, con autocorrección activada, donde los estudiantes simplemente aprenden a presionar teclas en los teclados para formar palabras, pero prestaron muy poca atención a corregir la ortografía, la puntuación, la estructura de las oraciones o escribiendo prosa. La computadora corregiría su ortografía y sugeriría la puntuación. Todo se trataría de usar un dispositivo que imitara el ensamblaje del símbolo analógico que hicimos en días pasados, pero sin la calidad que alguna vez tuvieron esas viejas formas de significado. Escuchar esto fue triste y horrible al mismo tiempo. Se usa sin significado, confundiendo el efecto con la causa.

El propósito de las calculadoras no es “ser matemático” para nosotros. Conocí a muchos estudiantes de ingeniería en la universidad a fines de la década de 1980 y principios de la década de 1990 que tenían calculadoras HP sofisticadas que podían resolver problemas matemáticos (ecuaciones algebraicas, integrales, derivados, etc.). Todos ellos entendieron las matemáticas detrás de lo que estaban haciendo. Las calculadoras simplemente los relevaron del trabajo manual. Ahí es donde agregan valor. No sustituyen la comprensión de lo que estás haciendo. Manejan el trabajo scut de llegar a una respuesta útil, que les da tiempo a los usuarios calificados para trabajar en problemas complejos. Tener buenas herramientas, con la comprensión y la habilidad para usarlas para aplicaciones específicas, hace que el trabajo esté bien hecho. En la sociedad, no asumimos que solo porque sabe cómo usar una llave inglesa ahora es un plomero calificado. Hay un conjunto completo de conceptos y habilidades que son necesarios para entender cómo hacerlo. Es sorprendente para mí que al menos por un tiempo (no sé si aún es así) algunas escuelas no lo entendieron.

Answer 6

¡Gracias Joel por el A2A!

No estoy 100% seguro de que lo haga. Pero luego han pasado décadas desde que tomé una clase de matemáticas y una vez que superé la geometría, las calculadoras que podía pagar (no esas calculadoras gráficas elegantes) no podían ayudarme en absoluto.

Esto es lo que podría pagar …

… y esto es lo que necesitaba:

Pero en serio, creo que una vez que los conceptos matemáticos básicos como la suma / resta, la multiplicación / división y las fracciones se enseñen en la pizarra (la pizarra en mi día), las calculadoras deberían permitirse porque eso es lo que todos usan en la vida real.

Answer 7

No creo que las calculadoras impidan la educación matemática. Pero no he estado en un aula de matemáticas de primaria o secundaria en más de 30 años. Entonces no estoy seguro.

La forma correcta de enseñar matemáticas es enseñar primero los principios y practicar lo suficiente para que los estudiantes puedan hacer las matemáticas de manera confiable y sin tener que buscar en sus recuerdos. Luego enséñeles cómo usar calculadoras para acelerar el proceso.

Especialmente cuando se usan funciones trigonométricas y trascendentales, la alternativa a una calculadora de bolsillo es no conocer las series infinitas y sumar los primeros 3-4 términos. La alternativa es interpolar en una tabla. Las calculadoras están más disponibles, son más rápidas y son menos propensas a errores no matemáticos.

ps, incluso mejor que enseñar a los estudiantes a usar calculadoras de bolsillo es enseñarles a usar programas de hoja de cálculo con cientos de funciones integradas. Las explicaciones en línea de las funciones son generalmente tan incompletas que el estudiante debe saber las matemáticas para usar la función correctamente.

Answer 8

Bueno, el uso frecuente de calculadoras, especialmente en las primeras etapas del aprendizaje de las Matemáticas, en particular, puede afectar negativamente la comprensión individual de los fundamentos de las Matemáticas, lo que a cambio puede impedir la educación matemática. Por ejemplo, cualquier individuo al azar puede escribir sin (30 grados) para obtener 0.5 en la calculadora. ¿Significa que él o ella sabe cómo definir cuál es el seno de un ángulo?

Answer 9

Supongo que no, sustancialmente. Me vienen a la mente muchos chistes sobre cómo usar mal una calculadora. Ver…? Su uso es inevitable. Se podría argumentar que su introducción prematura podría dificultar la capacidad de hacer cálculos simples sin ayuda. En una respuesta reciente, vi que los indios reclamaban un nivel incomparable de destreza matemática mental. La respuesta de Gyanesh Talwar a ¿Qué hace la gente en India muy fácilmente que no puede hacer la gente de otras naciones?
Es una habilidad valiosa y puede tener beneficios cognitivos interesantes, no lo sé, pero al final del día, un estudiante que puede hacer matemáticas a nivel x con una calculadora es lo mismo que un estudiante que puede hacerlo en papel , o alguien que pueda hacerlo en su cabeza. Supongo que el truco es descubrir cuándo presentarlos, y eso dependería de los perfiles de sus estudiantes y sus objetivos sociales / curriculares. Entonces se convierte en un problema matemático. Necesitamos más datos Aparentemente necesitamos estudiar a los indios.