¿Cómo puedo diferenciar [matemáticas] \ arctan \ left (\ frac {x} {a} \ right) [/ math]?

Answer 1

Hay una tabla de referencia maravillosa que contiene muchas de las cosas importantes que memorizará en Cálculo. Es parte del conjunto de seis gráficos que cubren Álgebra, Geometría, Trigonometría y Cálculo. Puedes encontrar los seis gráficos aquí:

• Ayuda matemática | Herramientas de Ingeniería Electrónica y Eléctrica | Comunidad EEWeb
• Lo que hice fue imprimir estas seis páginas en ambos lados de tres páginas de colores pastel diferentes, luego las hice plastificar. Los guardo en mi maletín como referencia.

Aquí hay una copia del cuadro que incluye la diferenciación (pero no imprima esta imagen … en su lugar, vaya a la página anterior, descargue los archivos PDF e imprímalos. Obtendrá una impresión más limpia.

Por supuesto, aún necesita hacer el trabajo para llegar a la respuesta final, pero eventualmente memorizará este pequeño detalle.

Lea todos los demás mensajes y siga lo que le muestran. Realmente haga el trabajo, paso a paso, en su papel, para que sea más fácil de ver, porque no solo está viendo, sino haciendo.

(A veces, desearía haber escrito la letra “a” a la ligera en esas páginas antes de tenerlas laminadas).

Answer 2

Deje [math] y = \ arctan \ dfrac {x} {a} [/ math]

Tome [math] \ tan [/ math] de ambos lados

[matemáticas] \ tan y = \ dfrac {x} {a} [/ matemáticas]

Dibuja un triángulo rectángulo usando la relación entre x , y y a

Si lo dibuja bien (sin juego de palabras), debe tener y como ángulo principal, x como el lado opuesto a y a como el lado adyacente. El uso del teorema de Pitágoras debería dar a la hipotenusa un valor de [matemáticas] \ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2} [/ matemáticas]

Diferenciar [matemáticas] \ tan y = \ dfrac {x} {a} [/ matemáticas] con respecto a x

[matemática] \ sec ^ 2 y \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {a} [/ matemática]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {a} \ dfrac {1} {\ sec ^ 2 y} [/ matemáticas]

La secante de un ángulo se da como la relación entre la hipotenusa y la adyacente. Desde el ángulo recto que ha dibujado, [matemática] \ sec y = \ dfrac {\ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2}} {a} [/ matemática]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {a} \ dfrac {1} {\ dfrac {x ^ 2 + a ^ 2} {a ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {a} {x ^ 2 + a ^ 2} [/ matemáticas]

En algunos casos, los estudiantes tienden a recordar la derivada de [matemáticas] \ arctan x [/ matemáticas], específicamente en esta forma (sin un término constante), que es [matemáticas] \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]. En ese caso, aplique la regla de la cadena para encontrar la derivada de [math] \ arctan \ dfrac {x} {a} [/ math].

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left (\ arctan \ dfrac {x} {a} \ right) = \ dfrac {1} {1+ \ left (\ dfrac {x} {a} \ right) ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {a} = \ dfrac {1} {1+ \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2}} \ cdot \ dfrac {1} {a} = \ dfrac {1 } {\ dfrac {a ^ 2 + x ^ 2} {a ^ 2}} \ cdot \ dfrac {1} {a} = \ dfrac {a} {x ^ 2 + a ^ 2} [/ math]

Answer 3

Existe una conexión entre la derivada de una función y su función inversa

[matemáticas] f ^ {- 1 ‘} (f (x)) = \ dfrac {1} {f’ (x)} \ Rightarrow f ^ {- 1 ‘} (x) = \ dfrac {1} {f’ (f ^ {- 1} (x))} [/ matemáticas]

Como [math] \ arctan (x) [/ math] es la función inversa de [math] \ tan (x) [/ math] y [math] [\ tan (x)] ‘= \ dfrac {1} {\ cos ^ 2 (x)} = \ sec ^ 2 (x) = 1 + \ tan ^ 2 (x) [/ math] se obtiene con [math] f (x): = \ tan (x) [/ math]

[matemáticas] f ‘(f ^ {- 1} (x)) = 1 + (\ tan (\ arctan (x))) ^ 2 = 1 + x ^ 2 [/ matemáticas]

por lo tanto

[matemáticas] [\ arctan (x)] ‘= \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

Este resultado es solo un poco diferente si uno usa [matemáticas] x / a [/ matemáticas] en lugar de x como argumento. Para esto, use la regla de la cadena [matemáticas] [h (g (x))] ‘= g’ (x) h ‘(g (x)) [/ matemáticas] con [matemáticas] g (x): = x / a , g ‘(x) = 1 / a [/ matemáticas]:

[matemáticas] [\ arctan (x / a)] ‘= \ dfrac {1} {a (1+ (x / a) ^ 2)} = \ dfrac {a} {a ^ 2 + x ^ 2} [/ matemáticas]

Una observación adicional: Observe la diferencia de notación entre A) [matemáticas] [h (g (x))] ‘[/ matemáticas] y B) [matemáticas] h’ (g (x)) [/ matemáticas]. En el caso A) debe diferenciar la función encadenada [matemática] h \ circ g [/ matemática] con respecto a [matemática] x [/ matemática]. Usa la regla de la cadena. En el caso B) debe diferenciar solo la función [math] h [/ math] para obtener la función [math] h ‘[/ math] y luego conectar [math] g (x) [/ math] como argumento, así que no se usa la regla de la cadena en este caso.

Gracias por la solicitud de respuesta.