¿Cómo debería modificarse la Ley Biot-Savart cuando la corriente fluye a través de un conductor de longitud y espesor finitos?

Answer 1

En primer lugar, recomiendo Introducción a la electrodinámica de David J. Griffiths. Es uno de los mejores libros de texto que he visto.

Supongamos que tiene un cable de radio centrado en el eje z. Lleva una corriente uniforme I. Busquemos el campo B en el punto (b, 0,0). La Ley de Biot-Savart dice B = µ / 4π • ∫ 1 / r ^ 2 • J xr ^ dV donde el volumen es todo el volumen infinito del cable. Entonces z es -∞ a ∞, theta = 0 a 2π, y r = 0 a a. Esa es una r diferente, así que voy a llamar a la distancia en la Ley de Biot-Savart s. Para un elemento infinitesimal de corriente ubicado en (r, theta, z), el vector desde el bit de origen hasta el punto de interés es (br cos theta, r sin theta, z). Ahora en esta situación, J = I / (πr ^ 2) y apunta en la dirección + z.

El cálculo aquí va a ser un dolor de cabeza; No tenemos mucha más simetría para simplificar las cosas. B = µ / 4π • ∫ 1 / r ^ 2 • J xr ^ dV = µ / 4π • ∫∫∫ J xs / s ^ 3 r dr d theta dz donde J xs es la expresión que escribí en la pizarra. Presumiblemente, los componentes x se cancelarán.

No estoy seguro de dónde radica tu dificultad, así que la dejaré allí por ahora. Espero que esto haya ayudado un poco.

Answer 2

A2A. No hay mucho: simplemente cambia [matemática] I \, d \ vec {l} [/ matemática] a [matemática] \ vec {J} \, dV [/ matemática]. Para ver por qué este es el caso, puede imaginar que en cada punto del conductor, hay un cable infinitamente delgado que lo atraviesa, con una sección transversal [matemática] dA [/ matemática]. Entonces, la corriente que fluye a través de él es [math] \ vec {J} dA [/ math], y luego se integra a lo largo del elemento de línea para obtener [math] \ vec {J} \, dV [/ math].