No creo que sea una percepción errónea en absoluto, pero realmente no tengo una razón mística de por qué los grupos son tan importantes para las matemáticas. Creo que son importantes porque son prácticamente útiles, con lo que quiero decir que puedes probar otros teoremas al usarlos, incluso teoremas sobre cosas que no sean grupos.
Hay dos razones en competencia por las cuales los grupos son útiles. Primero, son fáciles de trabajar y bien entendidos. Considere la descripción completa que tenemos de los grupos abelianos finitos como producto directo de los grupos cíclicos de potencia primaria. Eso es realmente simple, es prácticamente lo mismo que los enteros. También sabemos mucho sobre los grupos simétricos y los grupos matriciales, y todo tipo de otras cosas arcanas como las propiedades de las secuencias en un grupo que suman cero.
En segundo lugar, son lo suficientemente ricos como para modelar muchos otros fenómenos matemáticos. En topología, el conjunto de bucles con composición es un grupo. Resolver polinomios para sus raíces está relacionado con subgrupos de grupos simétricos, que está relacionado con grupos de automorfismos de campo. Puede modelar la forma óptima de voltear su colchón para mantenerlo fresco, utilizando el grupo diédrico.
Muchos de los grandes pasos en matemática pura han venido de reducir el problema de uno a uno sobre grupos. Mientras esto sea cierto, los grupos siguen siendo muy útiles para los matemáticos.
- ¿Desde qué sección debería comenzar las matemáticas en la clase 10 si no puede terminar su trabajo a tiempo?
- ¿Qué libro debería preferir para el tablero 12 de matemáticas?
- ¿Cuál es el siguiente mejor paso para comenzar a aprender matemáticas discretas si solo he ido tan lejos como antes del cálculo?
- ¿Puedo tomar matemáticas como asignatura opcional con PCB?
- ¿Puedo terminar mis décimas porciones de matemáticas en 10 días?