Cómo demostrar que el espacio métrico [math] (\ mathbb {R}, d) [/ math] está completo

Puede mostrar que esta métrica es equivalente a la métrica estándar en la línea Real, es decir, si una secuencia es Cauchy en la métrica estándar, entonces será Cauchy en esta métrica y viceversa.

Un argumento intuitivo seguirá así: supongamos que x, y están cerca en la métrica estándar, es decir, [math] | x – y | [/ math] es pequeño; entonces, por la continuidad de la función [matemática] m ^ x [/ matemática], el término en el valor absoluto será pequeño, lo que significa que [matemática] d (x, y) [/ matemática] será pequeño (piense en el Expansión de Taylor de log (1 + x) cuando x es pequeño positivo). Para ir al otro lado, si d (x, y) es pequeño, entonces el término de valor absoluto en el registro será pequeño. Ahora, para la parte difícil, ¿cómo se obtiene de este término al valor absoluto del término [matemáticas] | xy | [/ matemáticas]. Utilice el teorema del valor medio para vincular [math] | xy | [/ math] por | [matemáticas] m ^ x – m ^ y |. [/ matemáticas]

Ahora use este argumento intuitivo para llevar a cabo una orgía de épsilon delta para probar esto rigurosamente.

Elija una secuencia arbitraria de Cauchy en el espacio y demuestre que converge a un límite en el espacio.