¿Por qué mi profesor de Cálculo 2 me hizo una pregunta imposible?

Answer 1

Vamos a descomponerlo. Ya sabes que el denominador es N + 1. Vamos a dejar eso ahí. Necesitamos comenzar con el numerador. ¿Cómo obtendrías el numerador? Bueno, si miras detenidamente, el numerador es un múltiplo del denominador + 1. ¿Cómo se puede usar esto? Si cambiamos todas las fracciones a términos mixtos, podemos encontrar otro patrón.

1/2, 1+ (1/3), 2+ (1/4), 3+ (1/5), 4+ (1/6), etc.

¿Ves el patrón? Los números enteros comienzan en 0, 1, 2, 3, 4, etc. Podemos establecer el número entero como (n-1) ya que el enésimo término tiene un número entero que es menor que 1. al continuar. La fracción se agrega al número entero, por lo que la ecuación por ahora sería n-1 + (fracción).

Yendo a la parte de fracción. ¿Cómo se determina la fracción? Como ya sabe que el denominador es (n + 1), esta es la parte más fácil. W enchufe las variables en la ecuación.

n-1 + (1 / (n + 1))

Esa sería su ecuación final. Si desea simplificarlo aún más, puede hacerlo, pero no puedo escribir fracciones, por lo que si intento simplificar esto, probablemente me equivoque.

Answer 2

* A2A

• Tienes razón en que el denominador es simplemente la secuencia [matemáticas] (n + 1) [/ matemáticas]
• El numerador es la secuencia [matemática] n ^ 2 [/ matemática]
• Cambian los signos por cada término consecutivo …
• Introduzca una [matemática] (- 1) ^ n [/ matemática], para que se ocupe de los signos alternos.
• Tenga en cuenta que debe comenzar desde [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], lo que hará que [matemáticas] (- 1) ^ 1 = -1 [/ matemáticas], lo que significa que el primer término será negativo. No queremos eso, así que arreglemoslo.
• Escriba el generador de signos alternativos como [math] (- 1) ^ {n + 1} [/ math]
• Ponga todo lo discutido hasta ahora juntos como una secuencia.

Deberías tener el siguiente generador …

[matemáticas] (a_n) = (- 1) ^ {n + 1} \ dfrac {n ^ 2} {n + 1} \ tag * {} [/ matemáticas]

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Actualizando mi respuesta debido al comentario publicado.

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Con respecto a la suma de la serie (si se toma la suma de la secuencia)

[matemática] S = (- 1) ^ {n + 1} \ dfrac {n ^ 2} {n + 1} \ tag * {} [/ matemática]

• Considere la secuencia [math] b_n = \ dfrac {n ^ 2} {n + 1} [/ math]
• Se ve fácilmente que la secuencia es monotónica creciente
• El límite [math] \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} b_n = \ infty [/ math]
• Por lo tanto, la suma al infinito de esta serie diverge a través de la prueba de la serie alterna

Answer 3

Los maestros de cálculo rara vez dan preguntas imposibles, pero cuando lo hacen, generalmente es por una buena razón. Este problema en particular es un buen ejercicio cerebral y de hecho es posible de resolver. Incluso cuando el problema parece imposible, sigue siendo una buena práctica, si no es necesaria, tratar de abordar el problema desde muchas perspectivas diferentes y desarrollar su pensamiento. Dicho esto, solucionémoslo:

Obviamente obtuviste (n ^ 2) / (n + 1) como tu ecuación hasta ahora. Pero, ¿cómo hacer que todo lo demás sea negativo? Bueno -1 ^ n simplemente alterna 1 y -1, por lo que puedes usar eso para tu ventaja.

((-1) ^ n-1) * (n ^ 2) / (n + 1)

Conocer trucos como el truco -1 ^ n que empleamos es particularmente útil en competiciones matemáticas y complicados acertijos matemáticos.

Answer 4

Entonces sabes que la fórmula real para el enésimo term .. será

[matemáticas] \ dfrac {n ^ 2} {n + 1} [/ matemáticas]

Pero no sabes cómo en el mundo los términos segundo y cuarto, etc., son negativos. ¿Cómo puede ser esto?

Bueno, probablemente te enseñaron que para obtener una secuencia alterna como esa, simplemente golpeamos una [matemática] (- 1) ^ n [/ matemática] al frente y entonces estás listo para comenzar. Sin embargo, con este, son los términos pares los que son negativos, esencialmente lo inverso. ¿Qué sucede si agregamos [math] 1 [/ math] a cualquier número par? Se vuelve impar, y lo contrario para agregar [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a un impar, se vuelve par. Por lo tanto, si agregamos [matemática] 1 [/ matemática] al poder, lograremos lo que queremos, los términos impares se convierten en poderes pares y los términos pares se convierten en poderes impares.

Y terminamos con la secuencia de …

[matemáticas] \ dfrac {(-1) ^ {n + 1} n ^ 2} {n + 1} [/ matemáticas]

Answer 5

Tome [math] a_ {1} = \ frac {1} {2} [/ math].

Entonces, podemos expresar el enésimo término de la secuencia como

[matemáticas] a_ {n} = \ frac {(- 1) ^ {n + 1} n ^ {2}} {n + 1} [/ matemáticas].

Entonces, parece que te perdiste un concepto de la conferencia o no has pensado en otras formas de resolver el problema.

No presumas saber que la respuesta es imposible; pregunta por qué es posible.

Answer 6

La pregunta no es imposible. Si se mira de manera diferente, el hecho de que la salida oscila entre valores negativos y positivos significa que hay un término [matemático] (- 1) ^ n [/ matemático] flotando en algún lugar. Como ya lo has resuelto, puedes ignorar esa parte del problema y abordarlo más tarde, después de tener la versión con valor absoluto de la ecuación.

Ya ha determinado que el denominador es (n + 1), ahora todo lo que queda es determinar el numerador. Usted ve que el numerador está formado por cuadrados perfectos, y luego de una inspección adicional, se trata el cuadrado perfecto del enésimo término. Entonces ahora tenemos que el numerador tiene la forma [math] n ^ 2. [/ Math]

Poniendolo todo junto:

[matemáticas] f_n [/ matemáticas] = [matemáticas] (- 1) ^ n * n ^ 2 / (n + 1) [/ matemáticas]

Verificar el valor de la ecuación anterior nos dice de inmediato que el término negativo aparece en el valor incorrecto. Entonces modificaría la ecuación para mostrar:

[matemáticas] f_n = (-1) ^ {(n + 1)} * n ^ 2 / (n + 1) [/ matemáticas]

ya que nos gustaría que el primer término y todos los términos impares sean positivos y que todos los términos pares sean negativos.

Espero que eso ayude.

Answer 7

La respuesta a esta pregunta es bastante simple.

La fórmula del enésimo término Tn = (-1) ^ n * ((n + 1) ^ 2) / (n + 2))

(Suponiendo que el término 0 = 1/2 es decir, T0 = 1/2, T1 = -4 / 3, T2 = 9/4, T3 = -16 / 5 y así sucesivamente.

Answer 8

Te daré un consejo … (No puedo resolver toda la pregunta porque estoy usando un teléfono celular …)

Piensa sobre esto:

[matemáticas] (- 1) ^ n [/ matemáticas]

Cuando n es par, obtendrá un número positivo, cuando n es un número impar.

Por lo tanto, notará que la secuencia se alternará … negativa, positiva, negativa, positiva …

Y así…

¡Este hecho te ayuda a descubrir por qué la señal negativa!

Answer 9

Hay 3 partes en este problema.

El numerador

El signo del numerador.

El denominador.

El numerador es solo [matemática] n ^ 2 [/ matemática]

El signo del numerador es [matemática] (- 1) ^ {n + 1} [/ matemática] o también escribiría [matemática] (- 1) ^ {n-1} [/ matemática]

El denominador es [matemática] n + 1 [/ matemática] como ya observó.

Por lo tanto, la función general es esta:

[matemáticas] \ dfrac {(- 1) ^ {n + 1} n ^ 2} {n + 1} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ dfrac {(- 1) ^ {n-1} n ^ 2} {n + 1} [/ matemáticas]

Personalmente prefiero el primero porque el exponente [math] n + 1 [/ math] de [math] -1 [/ math] es el mismo que [math] n + 1 [/ math] en el denominador, algo en mi cerebro piensa que una solución se ve mejor cuando hay elementos repetidos en ella 🙂

Answer 10

El denominador en el enésimo término es [matemáticas] (n + 1) [/ matemáticas], como usted dijo.

El numerador es un cuadrado perfecto, en cada término, por lo que es [matemática] n ^ {2} [/ matemática].

El valor absoluto en cada término es:

[matemáticas] | T_ {n} | = \ frac {n ^ {2}} {(n + 1)} [/ math]

Ahora cuidando los valores negativos, cada término par es negativo y cada término impar es positivo. Podemos decir que el signo de cada término es [matemáticas] (- 1) ^ {n-1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el enésimo término de esta serie es:

[matemáticas] T_ {n} = (-1) ^ {n-1} \ frac {n ^ {2}} {(n + 1)} [/ matemáticas]

Answer 11

No es una pregunta imposible.

Tienes la secuencia en papel justo frente a ti, por lo que es claramente posible.

No quiero darte la respuesta, porque aparentemente esta es una tarea o una pregunta de examen, pero te daré una pista:

La expresión [matemática] (- 1) ^ n [/ matemática] produce -1, 1, -1, 1, … para valores sucesivos de n. Eso le da términos impares negativos y términos pares positivos; para invertir el signo, multiplique por -1 – o use [math] (- 1) ^ (n + 1) [/ math] en lugar de [math] (- 1) ^ n [/ math]. (No estoy seguro de que se formateará correctamente, pero debe tener la idea).

Answer 12

La secuencia anterior tiene las siguientes propiedades:

1. El valor del término es negativo para todos los términos pares (es decir, el segundo [matemático] [2] [/ matemático], cuarto [matemático] [4] [/ matemático], sexto [matemático] [6] [/ matemático],… condiciones)
2. Los numeradores son una serie de cuadrados perfectos, cuyas raíces son una secuencia aritmética con base [matemática] 1 [/ matemática] y diferencia [matemática] 1 [/ matemática]
3. Los denominadores son simplemente una secuencia aritmética con base [matemática] 1 [/ matemática] y diferencia [matemática] 1 [/ matemática]

Una secuencia aritmética [matemática] Un = a + b (n-1) [/ matemática] es una cadena de número con [matemática] n [/ matemática] términos que tiene un cierto número base [matemática] a [/ matemática] y una cierta constante [matemática] b [/ matemática], mientras que el siguiente número en la cadena es la constante agregada al número anterior.

Déjame elaborar:

Para la secuencia aritmética [matemática] Un = 5 + 3 (n-1) [/ matemática]:

• El primer término es [matemáticas] U1 = 5 + 3 (1-1) = 5 [/ matemáticas]
• El segundo término es [matemática] U2 = 5 + 3 (2-1) = 8 [/ matemática]
• El tercer término es [matemáticas] U3 = 5 + 3 (3-1) = 11 [/ matemáticas]
• etc.

Por lo tanto, al resolver su problema de cálculo “imposible”:

1. Para satisfacer la primera propiedad de la secuencia, agregamos el coeficiente [math] -1 [/ math] delante de la fracción. Para denotar el valor negativo solo en los términos pares, agregamos el exponente [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] (por lo que el primer término dará como resultado que el exponente sea dos, y ([matemáticas] -1) ^ (1 + 1 ) = [/ math] [math] 1 [/ math], que no está escrito; el segundo término tendrá el coeficiente [math] -1 [/ math], ya que [math] (- 1) ^ (2+ 1) = – 1 [/ matemáticas])
2. Para satisfacer la segunda propiedad, simplemente necesitamos escribir [math] n ^ 2 [/ math] en la ranura del numerador, ya que los numeradores de la serie son un conjunto de cuadrados perfectos con el número base de [math] 1 [/ math] , aumentando con una constante de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el primer término tendrá [matemáticas] 1 ^ 2 = 1 [/ matemáticas] y el segundo término [matemáticas] 2 ^ 2 = 4 [/ matemáticas])
3. Para satisfacer la tercera propiedad, simplemente necesitamos escribir [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] en el espacio del denominador, ya que los denominadores de la serie son una secuencia de números con la base [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y la diferencia [ matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el primer término será [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas] y el segundo [matemáticas] 2 + 1 = 3 [/ matemáticas].

Para concluir, la fórmula para el término [matemáticas] n [/ matemáticas] es [matemáticas] Un = (- 1) ^ (n + 1) (n ^ 2) / (n + 1) [/ matemáticas].

Answer 13

Perdóname si me equivoco con esto, esta es mi primera respuesta matemática en Quora.

La secuencia no es imposible.

[matemáticas] \ {a_n \} = \ frac {1} {2}, – \ frac {4} {3}, \ frac {9} {4}, … a_n [/ matemáticas]

Entonces, ¿qué es [matemáticas] a_n [/ matemáticas]

Usted declara que dado que cada número par es negativo, esto debe ser imposible, lo que supongo que está haciendo referencia a [matemáticas] (- 1) ^ n [/ matemáticas], lo que de hecho es cierto, pero debe modificarlo. Considere [matemática] (- 1) ^ {n + 1} [/ matemática] Ahora, de repente, todos sus números pares son negativos porque ha cambiado el exponente para alternar entre negativo para pares y positivo para probabilidades. Entonces, la respuesta final, incluida nuestra parte de arriba …

[matemáticas] \ {a_n \} = (-1) ^ {n + 1} \ dfrac {n ^ 2} {n + 1} [/ matemáticas]

Answer 14

Qué tal si

Esta expresión te dará +1, -1, +1 … y puedes multiplicarlo con tu respuesta.

¿Estás tratando de usar Quora para resolver tus problemas? Confía en tu maestro y piensa más.

Answer 15

Hay una solución muy simple para el problema que describe. En lugar de publicar en Quora, ¿por qué no le preguntas a tu profesor? ¿O preguntarle a uno de tus compañeros de clase o ir al centro de tutoría de tu escuela?

Estoy seguro de que tu profesor estaría más que feliz de explicarte, y te sentirías tonto por acusarlos de que era imposible.

Sin embargo, para responder la pregunta …

(-1) ^ (n + 1) n ^ 2 / (n + 1)

Answer 16

No es la única respuesta, pero funciona.

estoy en la escuela secundaria pero me estoy acercando a este problema usando trigonometría

la fórmula para el enésimo término sería

N ^ 2 / (n + 1) • cos (Pi • [n-1])

cos (Pi • [1–1])

= cos 0

= 1

cos (Pi • [2–1])

= cos pi

= -1

debido a que el valor del coseno alternará entre -1 y +1, sus términos también se alternarán, espero que esto haya ayudado

Answer 17

Primero, debemos entender el patrón. Podemos ver que el denominador siempre será 1 más que la raíz cuadrada del numerador. Debido a esto, podemos formular una ecuación. Esto significa que si resta 1 del denominador y luego lo eleva al cuadrado, obtendrá el numerador.

Sin embargo, también debemos hacer un generador para el signo. Agregaremos [math] (- 1) ^ {x + 1} [/ math] para generar un signo porque cuando x es impar, el exponente será par, lo que lleva a un signo positivo y cuando x es par, el exponente será Ser extraño, dejando una respuesta negativa.

Espero que esto ayude, Luke.

Gracias por leer.

Answer 18

No es una pregunta imposible.

Probablemente haya descubierto que el valor absoluto del numerador es [matemática] n ^ 2 [/ matemática] y el denominador es [matemática] n + 1 [/ matemática], por lo que ahora solo tiene que multiplicar [matemática] \ frac {n ^ 2} {n + 1} [/ math] por una expresión que es 1 si [math] n [/ math] es impar y -1 si [math] n [/ math] es par. Hay muchas posibilidades, pero una simple es [matemáticas] (- 1) ^ {(n + 1)} [/ matemáticas]

Answer 19

Recuerdo esto, uno de los temas más odiados en todos los cálculos, series. Lo primero que debes darte cuenta es que todo es [matemática] n ^ 2 [/ matemática]. Otra cosa que puede darse cuenta es que la serie alterna entre positivo y negativo y comienza con un número positivo, por lo que tendrá [matemática] (- 1) ^ {n + 1} [/ matemática] en el numerador. Para el denominador, comienzas con 2, por lo que será “n + 1” (ya lo has resuelto). Ahora solo lo pones todo junto y tienes [matemática] \ frac {(- 1) ^ {n + 1} n ^ 2} {n + 1} [/ matemática]

Answer 20

bien podemos intentarlo de esta manera

la secuencia es así 1/2, -4/3, 9/4, -16/5, 25/6 … y así

así que puedes hacer así [(-1) ^ n + 1 * n ^ 2] / (n + 1)

esto podría ayudarlo a entender por qué estamos obteniendo un cuadrado negativo en secuencia.

así que mira la foto que he subido.

Gracias 🙂