Intenta imaginar la geometría y las intuiciones geométricas detrás del cálculo. Imagine una curva compuesta de pequeños segmentos de línea recta. Piense en el área debajo de una curva como si fuera un rectángulo pequeño y delgado.
Mantenga las intuiciones subyacentes.
Es útil pensar en dx como un “pequeño cambio” en x y dy como “el pequeño cambio correspondiente” en y, donde esos pequeños cambios pueden considerarse lo más pequeños posible. Es por eso que Liebnitz inventó esa notación para que dx sea considerado como una pequeña diferencia en x , etc.
Nota: Eso no es riguroso, ¡así que no uses esa respuesta en un examen de cálculo! * *
- Si [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 547 [/ matemática], entonces ¿cuál es el valor de [matemática] a + b + c, [/ matemática] y [matemática] (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) – (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) – (a + b + c) [/ matemáticas]?
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Es por eso que introducen la idea de límites que pueden definirse de manera muy rigurosa.
Por lo tanto, la pendiente en un punto de una curva puede considerarse como la pendiente del pequeño segmento de línea recta en ese punto. Los puntos finales del pequeño segmento de línea pequeña serían (x, y) y (x + dx, y + dy). Entonces, la pendiente instantánea en ese punto es la derivada, dy / dx.
La pendiente instantánea en un punto de una curva puede considerarse como la tasa de cambio instantánea. Por ejemplo, si y es altura yt es tiempo, y tenemos alguna trayectoria para un objeto, dy / dt es su velocidad instantánea.
(Por cierto, dy / dx es cero siempre que la función sea un punto máximo, mínimo o de inflexión. Por lo tanto, lanzar una moneda al aire tiene su dy / dx (velocidad) cada vez más lenta hasta que alcanza 0 a su altura máxima. Sí ! Tiene aplicaciones! Yay!)
Puede pensar que el área debajo de una curva se divide en tiras delgadas de altura y ancho dx. Entonces, la integral definida es simplemente sumar todas las tiras de área ydx (siendo y un valor diferente en cada tira) entre dos valores de x.
Nuevamente, eso no es riguroso y se definirá usando límites, pero esa es la idea intuitiva.
OK, entonces cuando tienes la derivada, y tienes la integral, tienes el Teorema Fundamental del Cálculo. Nombre aterrador, ¿verdad?
- La primera forma de pensar en el FT es que integrar y diferenciar son opuestos entre sí. La diferenciación deshacerá una integración, y la integración deshacerá una diferenciación. (Hay un ajuste en eso, estar fuera por una constante, pero esa es la idea aproximada).
- La segunda forma de pensar en el FT es que si tiene una función que está integrando, y agregando allí pequeñas tiras pequeñas, ¡la velocidad a la que crece es la función misma !
La forma en que me enseñé a mí mismo el cálculo fue con el cálculo de Sylvester simplificado. Esto NO ES RIGOROSO **, pero es muy útil como ruedas de entrenamiento. Si te encuentras atascado, léelo y entenderás mejor lo que te está diciendo un libro de cálculo “real”.
* Hay un campo llamado análisis no estándar que define rigurosamente lo que se entiende por infinitesimal, y está un poco más cerca de expresar las intuiciones que la forma normal en que se presenta el tema: es complicado y casi nunca se enseña.
** Esta es casi exactamente la forma en que Newton y Liebnitz pensaban sobre el cálculo, y oye, lo inventaron. Eso les dio a los matemáticos un montón de contradicciones desordenadas que tuvieron que arreglar durante un siglo más o menos, así que es por eso que tienen todas las cosas y vecindarios y límites y cosas eta y delta, cosas grandiosas, porque hicieron que el tema fuera realmente sólido, pero no realmente Fácil para el estudiante principiante.