Si [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 547 [/ matemática], entonces ¿cuál es el valor de [matemática] a + b + c, [/ matemática] y [matemática] (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) – (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) – (a + b + c) [/ matemáticas]?

Answer 1

Parece que [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​enteros positivos.

Prueba y error es una locura, pero puede haber un método en la locura.

Deje [math] a \ geq b \ geq c [/ math]

[matemáticas] 3 a ^ 3 \ geq 547 [/ matemáticas]. También [matemáticas] a ^ 3 \ leq 547 \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 \ leq a \ leq 8 [/ matemáticas]

Caso I [matemáticas] a = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 3 + c ^ 3 = 547–8 ^ 3 = 35 [/ matemáticas]

[matemática] b = 3 [/ matemática] y [matemática] c = 2 [/ matemática] se ajustan a la factura. [matemáticas] (8,3,2) [/ matemáticas] es una solución.

Caso II [matemáticas] a = 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 3 + c ^ 3 = 547–7 ^ 3 = 204; 2 b ^ 3 \ geq 204 \ implica b ^ 3 \ geq 102 [/ math]

De ello se desprende [matemáticas] (102) ^ {\ dfrac 1 3} \ leq b \ leq (204) ^ {\ dfrac 1 3} \ implica [/ matemáticas]

[matemática] b = 5 [/ matemática] pero [matemática] c ^ 3 = 204–125 = 79 [/ matemática] no es un cubo perfecto. No hay solución aquí.

Caso III [matemáticas] a = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 3 + c ^ 3 = 547–6 ^ 3 = 331; 2 b ^ 3 \ geq 331 \ implica b ^ 3 \ geq 166 \ implica [/ matemáticas]

De ello se desprende [matemáticas] (166) ^ {\ dfrac 1 3} \ leq b \ leq (331) ^ {\ dfrac 1 3} \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 6 [/ matemáticas] pero [matemáticas] c ^ 3 = 331–216 = 115 [/ matemáticas] no es un cubo perfecto. No hay solución aquí.

Entonces [matemáticas] (8,3,2) [/ matemáticas] es la única solución.

Answer 2

Haz una columna de cubos perfectos de hasta aproximadamente 10.

1 ^ 3 = 1
2 ^ 3 = 8
3 ^ 3 = 27 …

Vea qué 3 cubos dan una suma de 547. Es bastante fácil de ver …

Luego solo agrega esos valores.

No voy a decirte la respuesta, pero la suma es entre 5 y 30.

Answer 3

Una sola ecuación con tres variables, sin limitaciones en enteros o racionales, puede tener un número infinito de soluciones. Si se supone que los valores son enteros, este tipo de problema puede resolverse mediante prueba y error. En este caso, los valores de las variables son 8, 3 y 2.
Por lo tanto, a + b + c = 13
(a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) – (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) – (a + b + c) = 547-77 -13 = 457

Answer 4

Es bastante fácil descubrir qué debe ser a, byc con algunos cálculos mentales: a = 8, b = 3, c = 2.

512 + 27 + 8 = 547.

El resto lo puedes hacer

Answer 5

Answer 6

8 + 3 + 2