Cómo responder la pregunta 10 sobre números complejos

Answer 1

Comienzas con las fórmulas de Vieta: Si [math] z_1, z_2 [/ math] son ​​las raíces de [math] z ^ 2 + pz + q = 0 [/ math] entonces [math] p = – (z_1 + z_2), q = z_1z_2 [/ matemáticas]

Puede verificar las fórmulas simplemente multiplicando [math] (z-z_1) (z-z_2) [/ math] y comparando coeficientes.

Ahora desea una raíz real, y ambas [matemáticas] p, q [/ matemáticas] no reales. Elija [matemáticas] z_1 = i, z_2 = 1. [/ matemáticas] Eso es lo más simple que se me ocurre. Entonces [matemáticas] p = – (1 + i), q = i. [/ Matemáticas]

La ecuación [matemáticas] z ^ 2- (1 + i) z + i = 0 [/ matemáticas] tiene las raíces [matemáticas] z_1 = i, z_2 = 1. [/ Matemáticas]

Para la parte b) revise Vieta nuevamente. Si tanto [math] z_1, z_2 [/ math] son ​​reales, entonces obviamente [math] – (z_1 + z_2) [/ math] y [math] z_1z_2 [/ math] son ​​números reales, por lo tanto, [math] p, q \ in \ mathbb {R}. [/ math]

Answer 2

Suponga que las dos raíces son [matemáticas] z_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_2. [/ Matemáticas]

Según el teorema de Vieta , llegamos a eso

[matemáticas] p = -z_1-z_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] q = z_1z_2 [/ matemáticas]

Sin pérdida de generalidad, deje que [math] z_1 [/ math] sea real. Naturalmente, podemos hacer que [math] p [/ math] y [math] q [/ math] no sean reales dando [math] z_2 [/ math ] un valor no real, que es a la vez necesario y suficiente （excepto que [math] z_1 [/ math] es 0, lo que lleva a [math] q [/ math] a ser 0）.

Por lo tanto, puede establecer una raíz real y una raíz no real como desee. Y la ecuación

[matemática] （z-z_1） （z-z_2） = 0 [/ matemática]

es decir, [matemáticas] z² + （- z_1-z_2） z + z_1z_2 = 0 [/ matemáticas]

seguramente satisfará la solicitud.

Espero ser útil 🙂

Answer 3

Vayamos con lo más simple, raíces [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] 1. [/ matemáticas]

[matemáticas] (zi) (z-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 2 – (i + 1) z + i = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 2 + pz + q = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] p = – (i + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] q = i [/ matemáticas]

---

Si [math] p [/ math] y [math] q [/ math] no son reales, presumiblemente significa que ambos tienen partes imaginarias distintas de cero, ¿pueden tener dos raíces reales?

Sea [math] p = a + bi, q = c + di. [/ Math]

Si [math] r [/ math] es una raíz real,

[matemáticas] r ^ 2 + (a + bi) r + c + di = 0 [/ matemáticas]

Igualando partes imaginarias,

[matemáticas] br + d = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] r = -d / b [/ matemáticas]

Mientras [math] b \ ne 0, [/ math] solo haya una [math] r [/ math] real que pueda satisfacer esto, entonces [math] r [/ math] es la única raíz real que puede satisfacer la ecuación cuadrática original

Answer 4

Hay fórmulas Vietta. Cuando x e y son raíces, entonces

x + y = – p

x × y = q

Utilizándolos, puedes encontrar un polinomio cuadrado que tiene raíces determinadas. Además, cuando ambas raíces son reales, los coeficientes también son reales.