En primer lugar, voy a interpretar esta pregunta como una pregunta sobre índices en general y no sobre la convención de suma de Einstein en particular; parece obvio que si va a usar índices, ahorra espacio para omitir signos de suma (y no perjudica la claridad).
Con eso en mente, la notación libre de índice puede ser mejor para cosas simples: operaciones que involucran solo tensores con los rangos 1 y 2, por ejemplo. Desafortunadamente, la vida no siempre es tan simple. Los índices son i) mucho más flexibles y ii) proporcionan más información.
El segundo de estos puntos es más fácil de explicar: usar solo símbolos del núcleo significa que el lector debe recordar exactamente qué representa cada uno de esos símbolos. Los índices proporcionan recordatorios del rango tensorial de un objeto, qué “ranuras” son covariantes y cuáles son contravariantes. Si bien esto puede sonar trivial, creo que mejora enormemente la legibilidad. La mayoría de las personas no trabajan cuidadosamente desde cero los documentos o libros, memorizando y entendiendo completamente el significado de cada definición a medida que avanzan. El uso de una notación que proporciona información adicional limpiamente ayuda al lector a centrarse en partes más importantes de un argumento sin buscar definiciones con tanta frecuencia. ¡También hace que sea mucho más razonable escatimar cosas, lo que la mayoría de las personas intenta hacer para determinar si vale la pena intentar leer atentamente!
Un segundo aspecto de esto es que los índices pueden aclarar diferentes convenciones que involucran signos, factores de 2, etc. Como un ejemplo muy simple, dada una forma 1 [matemática] \ omega [/ matemática], ¿qué se entiende exactamente por [matemática] d \ omega [/ matemática]? ¿Es igual a [math] \ nabla _ {[a} \ omega_ {b]} [/ math], para algún operador derivado [math] \ nabla_a [/ math], el negativo de eso, el doble o algo más? Recordar detalles como este se vuelve molesto, especialmente cuando se trata de una de las muchas cosas que cambian de un libro a otro. Aquí también, la notación confidencial te recuerda exactamente lo que significa el autor para que puedas concentrarte en cosas más importantes.
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Volviendo a mi primer reclamo de que la notación de índice es más flexible, ¿cómo denotarías algo como [matemáticas] R ^ {ca} {} _ {[b | c | d] f} A ^ {bf} {} _ { e} [/ math] sin índices (o algo así como la notación esquemática de Penrose)? Probablemente alguien haya inventado una forma, pero espero que sea bastante complicada. Usando solo unos pocos ingredientes simples, los índices pueden usarse para expresar una enorme variedad de operaciones. Símbolos como [math] \ otimes [/ math] no pueden llevarte tan lejos, y terminas tratando de inventar más y más operadores, tensores ficticios, bases, etc. para representar operaciones cada vez más complicadas. En algunos campos, esto está bien porque las operaciones complicadas son raras. En otros, se vuelve rápidamente incómodo y esencialmente insostenible. Si bien hay reservas ocasionales en esos campos, creo que puedo decir con seguridad que (con excepciones que probablemente se pueden contar por un lado) su uso de la notación personalizada inhibe considerablemente su capacidad de comunicarse con el resto de la comunidad.